確率を教えてください

質問

整数からランダムに１つ選ぶとき、（たとえば）「100」が選ばれる確率はどうなりますか？

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.1のコメントについてです。

> そもそもそんな操作は不可であり、問題として成り立っていないということでしょうか？

　うん。それがお分かりの上でのご質問なのか、いやもっと素朴なご質問なのか、どっちか分からなかったので書き方を迷いまして、もしかしたらこのようなコメントが付くかも、ということを考えてANo.1のようになった訳です。
　とは言っても、確率論を基礎から勉強している人ならこの質問は出ないと思うから、以下の説明はかなりイーカゲンな感覚的なもので、勉強のためのキーワードを導入することが主目的だ、というを予めことわっておきます。

　さて、仰っている「ランダム」とは、どの整数が選ばれる確率も同じだと仮定する（同等性の仮定）ということでしょう。さらにそれが確率であるからには総和が1でなくちゃいけません。そこで、有限集合{0,…,k,… n-1}上の一様な確率というものを考える。その中の一つkが選ばれる確率は1/nで、確率の総和は1です。どんな有限集合であっても、有限である限りは確率ということは言えます。そこでn→∞とすると、個々の整数が選ばれる確率は0に、確率の総和は1に収束します。つまり極限の意味でなら確率を考えることができますが、はてこれは一体どういうことなのか、よくわからんですね。
　母集団が無限集合である場合に、個々の要素に対して確率を言おうとすると「確率は0」、じゃあその合計はというと「あのその…」となっちゃって具合が悪いわけです。そこで、母集団である集合の上に「測度」というものを定義します。これは長さ・面積・体積の概念を一般に拡張したもので、要するに部分集合の「大きさ」を測るための尺度ですね。もうちょっと詳しく言うと、母集団の適当な部分集合に非負の実数を対応づける関数であって、しかも「加法性（A∩B=空集合なら、Aの測度+Bの測度=(A∪B)の測度、を満たす）」という性質を持つものです。（しかし「いかなる測度を使っても大きさが測れないような集合（非可測集合）」という鬼っ子が存在する。なので、ヨイコであるような部分集合だけを相手にするための工夫が必要で、話が複雑になります。）
　ともあれ、測度が0の集合（零集合）なら、その要素が選ばれる確率は0ですし、正の測度を持つ集合なら「その集合に属するどれかの要素が選ばれる確率」は測度に比例します。これを使って、「確率密度」つまり、単位測度当たりの確率、というものを定義します。たとえば正規分布のような連続的な分布の正体は、確率密度を表す「確率密度関数」なんです。
　以上のような話をきちんと体系づけたのがルベーグ積分・測度論です。（結構手強いんで、図書館か大きな本屋で少しチェックなさってみてから、取りかかるかどうかお考えになった方がいいかも。）
　で、ご質問に戻れば、整数全体の集合に対してどんな測度を考えるか。例えば、nで割ったら余りがkになる数を集めた部分集合、というものを考えれば、（ナントナクでもいいけど）整数全体の1/nの分量ですから、この集合の要素が選ばれる確率は1/nであろう。これは、最初に見た有限集合{0,…,k,… n-1}とぴったり同じ話です。というのは、{0,…,k,… n-1}の各要素とは、実は整数じゃなくて「nで割ったら余りがkになる整数を集めた部分集合」のことだったんだと思えば良いんですね。しかし整数1個だけからなる部分集合の測度はどうしたって0になっちゃう。そうすると「確率は0」。

お礼

詳しく教えていただき、ありがとうございます。
難しい内容で半分も理解できてませんが、とても面白そうな考え方ですね。
頂いたキーワードを元に自分なりに勉強してみたいです。

回答No.2

-nutsmac-

確率が0というのは、0に限りなく近いということだと思います。
無限にある整数のうちからある1つの整数を選ぶ確率は1/∞ですからね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

stomachman

確率は0。もっとも、どうやって「整数からランダムに１つ選ぶ」んだか分かりませんがね。

補足

ありがとうございます。

そもそもそんな操作は不可であり、問題として成り立っていないということでしょうか？
だとしたら、確率は０ではなく、確率は求まらない、ではないのでしょうか？
（確率は、母集団が有限の場合しか求められない？）