cosθ＋cos2θ＋cos4θ

質問

θ＝2π/7　のとき
cosθ＋cos2θ＋cos4θ　

を計算したいのですがどのようにすればいいのか分かりません。
計算過程を知りたいのですが、よろしくお願いいたします。

答えはパソコンで計算させると　-1/2　になりました…

回答No.8

staratras

No.7です。図を添付します。

回答No.7

staratras

これまでの回答と本質的には違いませんが、見かけの上では
この問題は図形的（ベクトル的）に考えた方がわかり易いと思います。

座標軸の原点を中心とする単位円（半径1の円）を考えます。
この円周上の点を７等分して正七角形を作ります。
Ｘ軸上の点（1,0）をＰ1とし、円周上に反時計回りにＰ2からＰ7までとります。

2π/7=θ　とすると
正七角形の各頂点の座標は、Ｐ1(1,0)　のほか
Ｐ2（cosθ,sinθ)、 Ｐ3(cos2θ,sin2θ）、Ｐ4(cos3θ,sin3θ）、Ｐ5（cos4θ,sin4θ)、 Ｐ6(cos5θ,sin5θ）、Ｐ7(cos6θ,sin6θ）、

ここで原点ＯからＰ1、ＯからＰ2…、ＯからＰ6、ＯからＰ7までのベクトルの和を考えるとゼロベクトルです。（図で考えるとＯＰ1を最初の1辺とする辺の長さ１の正七角形の周上を一回りして元の原点に戻ります）

このうちx成分に着目すれば
１＋cosθ＋cos2θ＋cos3θ＋cos4θ＋cos5θ＋cos6θ＝０

この図はX軸に対称なので、cosθ=cos6θ,cos2θ=cos5θ,cos3θ=cos4θ

したがって1+2(cosθ＋cos2θ＋cos4θ)=0

よって　cosθ＋cos2θ＋cos4θ=-1/2

回答No.6

stomachman

正7角形の7つの頂点の重心の座標は(0,0)。だから、θ=2π/7のとき
　　cos(0)+cos(θ)+cos(2θ)+cos(3θ)+cos(4θ)+cos(5θ)+cos(6θ) = 0
　　sin(0)+sin(θ)+sin(2θ)+sin(3θ)+sin(4θ)+sin(5θ)+sin(6θ) = 0
の二つが成立つけれども、一つ目だけに注目。まずcos0 = 1を移項。
　　(cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ))+(cos(3θ)+cos(5θ)+cos(6θ)) = -1
ここで、cos(4θ)=cos(3θ), cos(5θ)=cos(2θ), cos(6θ)=cos(θ) を使って、
　　(cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ))+(cos(4θ)+cos(2θ)+cos(θ)) = -1
　　2(cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ))=-1
だから
　　cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ) = -1/2

面白いですね。

回答No.5

mister_moonlight

cosθ＝αとすると、Ｐ＝cosθ＋cos2θ＋cos4θ＝(cos2θ)*(2cosθ＋1)＝(2α＋1)(2α＾2-1)＝4α＾3＋2α＾2-2α-1　‥‥(1)
7θ＝2πから　3θ＝2π-4θだから　cos(3θ)＝cos(2π-4θ)＝cos2(2θ)だから　4α＾3-3α＝2(2α＾2-1)＾2-1.
ばらして整理すると　8α＾4-4α＾3-8α＾2＋3α＋1＝(α-1)(8α＾3＋4α＾2-4α-1)＝0
α-1≠0から　8α＾3＋4α＾2-4α-1＝0　→　4α＾3＋2α＾2-2α＝1/2　‥‥(2)
(2)を(1)に代入すると、Ｐ＝4α＾3＋2α＾2-2α-1＝1/2－1＝-1/2。

結果は　予想通り。

回答No.4

info22_

方程式z^7=1の解を考えると
z^7-1=(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0
1以外解の１つ z=e^(i2π/7)は
　z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0
を満たすから
　e^(i12π/7)+e^(i10π/7)+e^(i8π/7)+e^(i6π/7)+e^(i4π/7)+e^(i2π/7)+1=0
ここで
　e^(i12π/7)=e^(i12π/7-2πi)=e^(-i2π/7)
　e^(i10π/7)=e^(i10π/7-2πi)=e^(-i4π/7)
　e^(i6π/7)=e^(i6π/7-2πi)=e^(-i8π/7)
なので
　e^(-i2π/7)+e^(-i4π/7)+e^(i8π/7)+e^(-i8π/7)+e^(i4π/7)+e^(i2π/7)+1=0
オイラーの公式e^(iθ)=cosθ+isinθを用いると
　e^(i2π/7)+e^(-i2π/7)=2cos(2π/7)
　e^(i4π/7)+e^(-i4π/7)=2cos(4π/7)
　e^(i8π/7)+e^(-i8π/7)=2cos(8π/7)
なので、これらの関係を代入して
　2cos(2π/7)+2cos(4π/7)+2cos(8π/7)+1=0
　2{cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)}=-1

　∴cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)=-1/2

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式

回答No.3

FT56F001

θ=2π/7として，a=e^(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)とおく。
ド・モアブルの公式より
a^n=cos(2πn/7)+i*sin(2πn/7)

a^7=e^(i2π)=1
よって(a-1)(a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)=0
a≠1より
a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0　書き換えて
(a^6+a^5+a^3)+(a^4+a^2+a)=-1
a^7*(a^(-1)+a^(-2)+a^(-4))+(a^4+a^2+a)=-1　a^7=1を代入して書き換え
(a^4+a^(-4))+(a^2+a^(-2))+(a+a^(-1))=-1
ここでa^n+a^(-n)=2cos(nθ)より
2cos4θ+2cos2θ+2cosθ=-1
よってcos4θ+cos2θ+cosθ=-1/2

回答No.2

iw_steel

まちがえてました
=COS(PI()/7)+COS(2*PI()/7)+COS(4*PI())でした
=2.524459

補足

θ＝2π/7　なので
COS(2*PI()/7)+COS(4*PI()/7)+COS(8*PI())
になると思います…

回答No.1

iw_steel

=COS(2*PI()/7)+COS(2*PI()/7)+COS(4*PI())
でしょう
エクセルさんは2.24698といっています