積分法の証明なのですが・・

質問

いまいち解法がわからないんです(・_・、)
どなたか分かるかた、答えだけでなく解き方・考え方をおねがいします。

a <=（小なりイコール） b
のとき|∫a-b f(x)dx| <= ∫a-b |f(x)|dx
であることを示したく、またこれより

lim∫0-2π {(cosnx)/(x^2+n^2)}dx=0　を示したいです。

最初のは左辺から右辺、という方法が使えますか？うまくできなかったんです。
それに、最初が示せたとしても次ではたまた詰まってしまって・・。
積分に自信がなくなってきたぁ。゜(゜´Д｀゜)゜。

よろしくお願いします

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

前半：
（右辺）－（左辺）をつくるだけでは解決ぜず，定積分の性質を用いることがポイントです。

実数関数ならば，つねに
-|f(x)|≦f(x)≦|f(x)|
を満たしますから，定積分の性質より

-∫_a^b |f(x)|dx≦∫_a^b f(x)dx≦∫_a^b |f(x)|dx

が成り立ちます。∫_a^b |f(x)|dx≧0 に注意すると・・・

後半：
|cos nx/(x^2+n^2)|=|cos nx|/|x^2+n^2|
≦1/(x^2+n^2)≦1/(n^2)
ですから，前半の結果が利用できます。
符号が変化する数列，もしくは符号が不明な数列の極限が０になることを示すには，絶対値をとるのが効果的です。

回答No.1

noname#24477

式を書くのが面倒なのでヒントだけですが
前半は
右辺－左辺が0以上
積分の中味が０以上なら積分しても0以上(面積として
とらえれば明らか)

後半は
cosnxが－１以上，１以下
(絶対値にすれば0以上1以下)
どちらにしても上はcosnxを1に置き換えて積分したもの以下
積分は x=ntanθの置換

下は－１でも0でもどちらでもどうぞ。

特に絶対値でなくてもという気もしますけどね。
前半を使うなら絶対値をとってとなります。
limはnを∞でしょうね。