図形と最大と最小

質問

原点をOとする座標平面上に放物線ｙ＝－ｘ＾２+４Xがある。この放物線とX軸で囲まれた部分の中に、長方形ABCDがある。点A、Bはx軸上にあり、点C、Dは放物線上にある。点A のx座標は、点Bのx座標より小さい。
AB＝ADのとき点Aのx座標は何か。
答え　３－√5

長方形の周の長さの最大値とそのときの点Aのx座標は何か。
答え　ｘ＝１のとき最大値１０

どのような式で解けばよいのですか。
解説が詳しいとありがたいです。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

点Aの座標を(a,0)とする。このとき、その放物線はx=2で線対称だから
点Bの座標は(4-a,0)となる。また、点Dの座標は(a,-a²+4a)である。
AB=4-2a,AD=-a²+4aであり、両者が等しいことから
4-2a=-a²+4a
a²-6a+4=0
a=3±√(9-4)=3±√5
2つの解のうち小さい方が点Aのx座標である。
∴点Aのx座標は3-√5

長方形の周の長さ=2AB+2AD=2(4-2a)+2(-a²+4a)=-2a²+4a+8=-2(a-1)²+10
この2次関数はa=1のとき最大値10
∴点A(1,0)のとき、長方形の周の長さの最大値10

合っているかどうかはわかりません。

回答No.2

yyssaa

放物線y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4の中心線はx=2であり、点(2,0)を中心に
対称の位置に点A、Bがあるので、A(a,0)とするとAB=2(2-a)となる。
ADは直線x=aと放物線との交点のy座標になるので、
AD=-a^2+4a=2(2-a)=AB　の解のうち、0<a<2　がAのx座標となる。

長方形の周の長さをLとすると、
L/2=AB+AD=(-a^2+4a)+2(2-a)=-a^2+2a+4であるので、0<a<2　の範囲
でL/2が最大になる時のaとLが答えになる。