空間図形なんですが・・・

質問

xy平面上の点A（rcosA,rsinA）を、x軸となす角θ（0≦θ,A≦π/2，θ≦A/2）のxy平面上の直線を軸として回転させたとき、

（１）点Aが描く円の方程式。

（２）（１）の円がxz平面と交わる点Bの座標。

（３）原点と点Bを結ぶ直線OBがx軸となす角度。

どうやって解けばいいですか？教えてください。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

どこまで自力で解けて、どこで躓いたのでしょうか。
それを書いて下さると、アドバイスがしやすいです。

> x軸となす角θ（0≦θ,A≦π/2，θ≦A/2）のxy平面上の直線

この回転軸の方程式をまず考えます。
x軸となす角がθの直線の式は、y切片をbとおくと

y = (tanθ)x + b

となります。
問題文中の条件だとbの値が定まらない気がします。
他に何か条件はありませんでしたか？
この軸の方程式が定まれば、解けると思います。

> （１）点Aが描く円の方程式。

まず円の中心の座標と、円の半径について考えます。
「回転軸」と「点Aを通る、回転軸の法線」の交点が、
問題(1)で求めたい円の中心です（点Cとおきます）。
なので2つの直線を連立させれば点Cの座標を求められます。
点Cから点Aまでの距離が半径の長さになります。

次に円の方程式を決定します。
私はxyz平面上の円の方程式についてはよく知りません。
なので力技で解く方法しか思いつきませんでした。
「点Cを中心とし、点Aを通る球面」の方程式を求めて、
それを「点Aを通る回転軸の法線を通る、xy平面に垂直な面の方程式」と連立させれば、
それが(1)の答えになると思います。
（問題(1)で考えている円は、「点Cを中心とし、点Aを通る球面」と
「点Aを通る回転軸の法線を通る、xy平面に垂直な面の方程式」の共通部分です。
なのでこの二つの式を連立させれば良いと考えました。）

もっと簡単に求める方法があるかもしれませんね。

(1)が解ければ、(2)(3)はそれほど難しくないと思います。

お礼

わざわざ時間をさいてくださって、本当にありがとうございました。
どうやら問題に無理があるようで、回答を締め切ることにしました。
一般化しすぎ？

もう一度、条件を絞り込んで質問してみようと思います。似たような質問だったら、またのぞいてみてください。

ありがとうございました。

補足

ごめんなさい。言葉足らずでした。

（１）　回転軸は原点を通ります。y切片は０です。

（２）　空間上の円の方程式は、なるほど、球と平面の連立式になりますね。ありがとうございます。

なにしろ、このあたりの数学を一生懸命勉強していたのは、もう30年以上も昔の話。数学の問題風にアレンジしましたが、仕事上必要でどうしても解く必要に迫られたのですが、空間把握が、若いころのようにすんなりと理解できない頭になってしまいました。考えれば考えるほどワケがわからなくなってしまって、、、f(^^;

みなさんどうかよろしくお願いします。

追記。問題の円は、xz平面状に射影すると、楕円になるのですか？それとも、いびつ？