空間図形のもんだいです。

質問

座標空間内に４点Ｐ（3,1,4,),A(1,2,3),B(1,1,2),C(2,1,1)がある。直線ＰＡとｘｙ平面の交点をＡ‘、直線ＰＢとｘｙ平面の交点をＢ‘、直線とｘｙ平面の交点をＣ‘とする。
（１）三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
（２）三角形Ａ‘Ｂ‘Ｃ‘の面積を求めよ。　
この問題をといてくれませんか、よろしくお願いします。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

ベクトルABを↑AB、↑と↑の内積を↑・↑と書きます。
↑AB=↑B(1,1,2)-↑A(1,2,3)=↑AB(0,-1,-1)
↑AC=↑C(2,1,1)-↑A(1,2,3)=↑AC(1,-1,-2)
↑BC=↑C(2,1,1)-↑B(1,1,2)=↑BC(1,0,-1)
（１）三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
＞|↑AB|^2=↑AB・↑AB=↑AB(0,-1,-1)・↑AB(0,-1,-1)
=0*0+(-1)*(-1)+(-1)*(-1)=2
同様に|↑AC|^2=6、|↑BC|^2=2
∠BAC=θとすると、余弦定理により
BC^2=2=AB^2+AC^2-2AB*ACcosθ=2+6-2*(√2)*(√6)cosθ
よってcosθ=(√3)/2、θ=π/6、sinθ=1/2
△ABCの面積=(1/2)AB*AC*sinθ=(1/2)*(√2)*(√6)*(1/2)
=(√3)/2・・・答え
（２）三角形Ａ‘Ｂ‘Ｃ‘の面積を求めよ。
＞↑PA=↑A(1,2,3)-↑P(3,1,4)=↑PA(-2,1,-1)
sを実数、↑A'=↑A'(x,y,0)とすると、
↑A'(x,y,0)=↑P(3,1,4)+s↑PA(-2,1,-1)だから、
x=3-2s、y=1+s、0=4-sからs=4、x=-5、y=5、↑A'=↑A'(-5,5,0)
同様に↑PB=↑B(1,1,2)-↑P(3,1,4)=↑PB(-2,0,-2)
tを実数、↑B'=↑B'(x,y,0)とすると、
↑B'(x,y,0)=↑P(3,1,4)+t↑PB(-2,0,-2)だから、
x=3-2t、y=1、0=4-2t、t=2、x=-1、↑B'=↑B'(-1,1,0)
同様に↑PC=↑C(2,1,1)-↑P(3,1,4)=↑PC(-1,0,-3)
uを実数、↑C'=↑C'(x,y,0)とすると、
↑C'(x,y,0)=↑P(3,1,4)+u↑PC(-1,0,-3)だから、
x=3-u、y=1、0=4-3u、u=4/3、c=5/3、↑C'=↑C'(5/3,1,0)
x-y座標にA'、B'、C'をプロットすると、△A'B'C'は底辺の長さ
が1+5/3=8/3で高さが5-1=4の三角形になるので、
△A'B'C'の面積=(1/2)*(8/3)*4=16/3・・・答え

回答No.4

nag0720

三角形の面積は外積を使って求めることもできます。

△ABC=|AB↑×AC↑|/2
=|(0,-1,-1)×(1,-1,-2)|/2
=|(1,1,-1)|/2
=√3|/2

A’(-5,5,0),B’(-1,1,0),C’(5/3,1,0)
だから、
△A’B’C’=|A’B’↑×A’C’↑|/2
=|(4,-4,0)×(20/3,-4,0)|/2
=(16/3)|(1,-1,0)×(5,-3,0)|/2
=(16/3)|(2,0,0)|/2
=16/3

回答No.3

ferien

ANo.2です。　済みません。入力ミス。

＞cos∠BAC＝AB・AC/|AB|・|AC|＝3/(√2・√6)＝√3/2より、∠BAC＝30°
＞ sin∠BAC＝sin30°＝1/2
＞ よって、
＞ △ABCの面積＝(1/2)・AB・AC・sin∠BAC

でお願いします。

回答No.2

ferien

＞座標空間内に４点Ｐ（3,1,4,),A(1,2,3),B(1,1,2),C(2,1,1)がある。
＞直線ＰＡとｘｙ平面の交点をＡ‘直線ＰＢとｘｙ平面の交点をＢ‘、直線ＰＣとｘｙ平面の交点をＣ‘とする。

＞ （１）三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
AB^2＝(1－1)^2＋(1－2)^2＋(2－3)^2＝2より、AB＝√2
AC^2＝(2－1)^2＋(1－2)^2＋(1－3)^2＝6より、AC＝√6
ベクトル
AB＝(0，-1，-1)，　AC＝(1，-1，-2)より、
AB・AC＝0・1＋(-1)・(-1)＋(-1)・(-2)＝3
cos∠BAC＝AB・AC＝|AB|・|AC|＝3/(√2・√6)＝√3/2より、∠BAC＝30°
sin∠BAC＝sin30°＝1/2
よって、
△ABCの面積＝(1/2)・AB・SC・sin∠BAC
＝(1/2)・√2・√6・(1/2)
＝√3/2

＞ （２）三角形Ａ‘Ｂ‘Ｃ‘の面積を求めよ。　
ｘｙ平面の方程式は、ｚ＝0

直線PAの方向ベクトルは、PA＝(1－3，2－1，3－4)＝(-2，1．-1）
点Pを通るから、直線PAの方程式、
(ｘ－3)/-2＝(ｙ－1)/1＝(ｚ－4)/-1＝ｓとおく。
ｘｙ平面との交点は、ｚ＝0とおくと、-4/-1＝ｓより、ｓ＝4
(ｘ－3)/-2＝(ｙ－1)/1＝4
ｘ－3＝4・(-2)より、ｘ＝-5，　ｙ－1＝4・1より、ｙ＝5
よって、A'(-5，5，0）

直線PBの方向ベクトルは、PB＝(1－3，1－1，2－4)＝(-2，0．-2）
点Pを通るから、直線PBの方程式、
(ｘ－3)/-2＝(ｙ－1)/0＝(ｚ－4)/-2＝ｔとおく。
ｘｙ平面との交点は、ｚ＝0とおくと、-4/-2＝ｔより、ｔ＝2
(ｘ－3)/-2＝(ｙ－1)/0＝2
ｘ－3＝2・(-2)より、ｘ＝-1，　ｙ－1＝2・0より、ｙ＝1
よって、B'(-1，1，0)

直線PCの方向ベクトルは、PC＝(2－3，1－1，1－4)＝(-1，0．-3）
点Pを通るから、直線PCの方程式、
(ｘ－3)/-1＝(ｙ－1)/0＝(ｚ－4)/-3＝ｕとおく。
ｘｙ平面との交点は、ｚ＝0とおくと、-4/-3＝ｕより、ｕ＝4/3
(ｘ－3)/-1＝(ｙ－1)/0＝4/3
ｘ－3＝(4/3)・(-1)より、ｘ＝5/3，　ｙ－1＝(4/3)・0より、ｙ＝1
よって、C'(5/3，1，0）

B'A'^2＝(-5＋1)^2＋(5ー1)^2＋0＝16・2より、B'A'＝4√2
B'C'^2＝(5/3＋1)^2より、B'C'＝8/3
ベクトル
B'A'＝(-4，4，0），　B'C'＝(8/3，0，0)　だから、
B'A'・B'C'＝(-4)・(8/3)＋4・0＋0＝-32/3
cos∠A'B'C'＝B'A'・B'C'/|B'A'|・|B'C'|＝(-32/3)/4√2・(8/3)＝-1/√2より、
∠A'B'C'＝135°
sin∠A'B'C'＝sin135°＝1/√2
よって、
△A'B'C'の面積＝(1/2)・B'A'・B'C'・sin∠A'B'C'
＝(1/2)・4√2・(8/3)・(1/√2)
＝16/3

でどうでしょうか？　確認してみてください。

回答No.1

info22_

(1)
2点間の距離の公式から△ABCの３辺AB=c,BC=a,AC=bの長さを求め
ヘロンの公式で面積Sを求めれば良いでしょう。

c=AB=√{(1-1)^2+(2-1)^2+(3-2)^2}=√3
a=BC=√{(2-1)^2+(1-1)^2+(1-2)^2}=√2
b=AC=√{(2-1)^2+(1-2)^2+(1-3)^2}=√6
ヘロンの公式を適用して
s=(a+b+c)/2=(√2+√6+√3)/2
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　=√{(√2+√6+√3)(√6+√3-√2)(√2+√3-√6)(√2+√6-√3)}/4
　=√{((√6+√3)^2-(√2)^2)((√2)^2-(√6-√3)^2)}/4
　=√{((6+3+6√2)-2)(2-(6+3-6√2))}/4
　=√{((6√2+7)(6√2-7)}/4
　=√(72-49)/4
　=(√23)/4

(2)
PA↑=(3-2t,1+t,4-t)
PA↑とｘｙ平面の交点A'はPA↑のz成分4-t=0からt=4の場合なので
A'(3-2*4,1+4,0)=(-5,5,0)

PB↑=(3-2t,1,4-2t)
PB↑とｘｙ平面の交点B'はPB↑のz成分4-2t=0からt=2の場合なので
B'(3-2*2,1,0)=(-1,1,0)

PC↑=(3-t,1,4-3t)
PC↑とｘｙ平面の交点C'はPC↑のz成分4-3t=0からt=4/3の場合なので
C'(3-(4/3),1,0)=(5/3,1,0)

A',B',C'がもとまったので△A'B'C'の３辺の長さは
a'=B'C'=√{(5/3-(-1))^2+(1-1)^2}=√((8/3)^2)=8/3
b'=A'C'=√{(5/3-(-5))^2+(1-5)^2}=√(400/9+16)=(4√34)/3
c'=A'B'=√{(-1-(-5))^2+(1-5)^2}=4√2
△A'B'C'の面積S'はヘロンの公式を適用して
s'=(a'+b'+c')/2=(2/3)(2+√34+3√2)
S'=√{s'(s'-a')(s'-b')(s'-c)}
=16/3