数学の問題の解答、解説を詳しくお願いします。

質問

原点Oの座標平面上に放物線y=－x^2+8xがある。
4＜a＜8を満たす定数aを選び、x軸上に点A(a,0)、この放物線上に点B(a,－a^2+8a)をとる。
さらにこの放物線上に点CをBとy座標が等しいがx座標は異なるところにとる。
4点O,A,B,Cを頂点とする四角形の面積をS(a)で表す。
次の問に答えなさい。
(1)直線OCとこの放物線で囲まれた部分の面積が9/16であるとき、a=○○/○である。
(2)S(a)はa=○○+○√○/○のとき最大値をとる。
(3)点Bにおけるこの放物線の接線がx軸と交わる点をDとする。三角形ODBの面積がS(a)と等しいとき、a=4+○/○√○である。

長々とすみません。回答お願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞y=-x^2+8x=-(x^2-8x)=-(x-4)^2+16、y=x(8-x)
両式より、この放物線は(4,16)を頂点(極大点)とし、x=0と
x=8でx軸と交差する上に凸(∩のような形)の二次曲線になる。
直線x=4が対称軸になるので、点A(a,0)の対称点A'は
4-(a-4)=8-aから点A'(8-a,0)となり、従って点Cは
C(8-a,-a^2+8a)となる。
以上からS(a)は、△OCA'の面積と四角形ABCA'の面積の合計
となり、
S(a)=(1/2)*(8-a)*(-a^2+8a)+(2a-8)*(-a^2+8a)
=(-a^2+8a)(3a/2-4)となる。
(1)直線OCとこの放物線で囲まれた部分の面積が9/16であるとき、a=○○/○である。
＞直線OCとこの放物線で囲まれた部分の面積をTとすると
T=∫[0→8-a](-x^2+8x)dx-△OCA'の面積
={-(1/3)x^3+4x^2}[0→8-a]-(1/2)*(8-a)*(-a^2+8a)
={-(1/3)(8-a)^3+4(8-a)^2}-a(4-a/2)*(8-a)
=(8-a){64-16a+a^2}/6=(8-a)^3/6、これが9/16だから
(8-a)^3/6=9/16、(8-a)^3=54/16=27/8、8-a=3/2
a=8-3/2=13/2・・・答
(2)S(a)はa=○○+○√○/○のとき最大値をとる。
＞S(a)=(-a^2+8a)(3a/2-4)=(a/2)(8-a)(3a-8)からS(a)は
(0,0)(8/3,0)(8,0)の3点で横軸と交差する右肩下がりの三次
曲線。S(a)=(a/2)(8-a)(3a-8)=(16a^2-32a-3a^3/2)をaで
微分してS'(a)=-9a^2/2+32a-32=0、9a^2-64a+64=0を解いて
a={64±√(64^2-4*9*64)}/18=(64±√1792)/18
=(64±16√7)/18=(32±8√7)/9、4＜a＜8なので、
a=(32+8√7)/9のときにS'(a)=0、すなわちS(a)は極大となる。
a=(32+8√7)/9・・・答
(3)点Bにおけるこの放物線の接線がx軸と交わる点をDとする。三角形ODBの面積がS(a)と等しいとき、a=4+○/○√○である。
＞y'=-2x+8から点Bの接線の傾斜は-2a+8、接線の方程式は
y=(-2a+8)(x-a)-a^2+8a、
点Dのx座標は(-2a+8)(x-a)-a^2+8a=0からx=(a^2)/(2a-8)
三角形ODBの面積=(1/2){(a^2)/(2a-8)}(-a^2+8a)
=(a/2){(a^2)/(2a-8)}(-a+8)、これを=S(a)とおいて
(a/2){(a^2)/(2a-8)}(-a+8)=(a/2)(8-a)(3a-8)
5a^2-40a+64=0、これを解いてa={40±√(1600-4*5*64)}/10
=(40±√320)/10=(40±8√5)/10=4±4√5)/5=4±4√5/5
4＜a＜8なのでa=4+4√5/5・・・答
a=4+○/○√○の形にするならa=4+4/1*√5

お礼

とてもわかりやすく詳しく書いていただきありがとうございます。
理解することができました。

回答No.1

Cupper-2

設問にある放物線をグラフに描いてみよう。
そのうえで考える問題だ。
それができなければ意味不明な数式を並べるだけの回答・解説になる。

質問者さんはこの設問の放物線を方眼紙の上に描けるかい。
まずはそこからだ。

お礼

グラフを描き解くことが出来ました。アドバイスありがとうございます。