確率密度関数の過去の事象との独立性
- 確率密度関数を用いる問題についての質問です。
- 異常気象が過去の事象と独立で計算できる理由と、条件によって確率が異なる場合について教えてください。
- 指数分布に従う確率問題の解法に関する疑問があります。
- ベストアンサー
確率密度関数の過去の事象との独立性
確率密度関数を用いる問題について教えてください。 国家公務員1種 旧・理工系Iの工学に関する基礎に出題された問題2つについて質問です。 まず、H17年の問題で ある地域では平均すると25年に一度異常気象が発生する。異常気象の発生した年からx年以内に次の異常気象の発生する確率F(x)は F(x)=∫{exp(-t/25)/25}dx (※∫は区間0からxの積分) と表される。この地域で最後に異常気象の発生した年から5年間異常気象が発生していないとき、今後5年以内に異常気象が発生する確率はおよそいくらか。 という問題があります。 ある参考書では、過去に異常気象が起きたことと現在の事象は独立であるとして、F(5)の計算結果が解答となっていました。 一方、H14年に ある人の通話時間x分は平均が5分となる指数分布に従うとする。いまその人が電話をし始めてから5分経過したとき、そのあと5分以内に話し終わる確率はいくらか という問題があります。これも過去に5分話したこととは独立に考え、0から5分の積分で確率を求めるようです。 私は最初、この問題を条件付き確率で解いてしまいました。 異常気象が過去に関係なく独立になるという解説を「なんとなく」理解できました。 しかし、「話し始めてから5分以内に話し終わる確率」と「5分話してから5分以内に話終わる確率」が同じというのは日常生活で想像すると釈然としません。 指数分布に従うという部分がミソだと思うのですが、なぜ過去の事象から独立として計算できるのか解説していただけませんか? また、問題の条件によっては「話し始めてから5分以内に話し終わる確率」と「5分話してから5分以内に話終わる確率」が違う場合もあるかと思います。 どういう仮定条件があるときに、この2つの確率が違う値になるかの分かれ目も教えていただけると助かります。
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数1
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
気づかれた通りで, 「指数分布」がすべてです. 当然ですが「条件付き確率として計算してはいけない」などということは全くありません.
その他の回答 (2)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
指数分布は過去と独立だ…というより、 過去と独立な分布は指数分布なんですよ。 電話が x 分以上続く確率を G(x) と置くと、 x 分続いて、その h 分後までに終わる確率は G(x)-G(x+h) です。 よって、x 分続いたという条件下に あと h 分以内で終わる条件つき確率は、 (G(x)-G(x+h))/G(x) となります。 この値が、h のみで決まり、x に依らないと 仮定して、G を計算してみましょう。 式を h で割ってから、h→0 の極限をとれば、 -G'(x)/G(x) の値も x に依らないことが判ります。 -G'(x)/G(x)=λ と置いて、x で積分すれば、 G(x)=C(eの-λx乗) と解けます。 積分定数 C を G(0)=1 から決めれば完了です。 これは、指数分布ですね?
お礼
なるほど。とても勉強になりました。 ただ答えを教えていただくだけでなく、考える機会をくださってありがとうございます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
指数分布や幾何分布に限って言えば「無記憶性を持つ」ので (過去のことは無視して) 今の時点を t=0 として考えていい, ってことですね. でその条件付き確率の計算だけど.... う~ん.... なんというか, 記号で書いてしまったために「それでいいかどうかが判断できなくなってしまっている」ような気がするなぁ.... 定積分によって直接求まるのは「○分までに話し終わる確率」とか「○分から×分までに話し終わる確率」, あるいは「○分たってもまだ話をしている確率」などですよね. これらの表現を使って「区間t=5から10の確率」とか「区間t=0から5の確率」を書きなおしてみれば「おかしな計算をしている」ことがわかると思います.
関連するQ&A
- 確率密度関数に関する問題。
超基礎問題なのですが理解できません… ご教授よろしくお願いします。 (1)確率変数Xの密度関数が f(x)=1/2,-1<x<1 0,その他の場合 であるとする。 このときXの平均、分散を求めよ。 (2)Xは標準正規分布N(0,1)に従う確率変数であるとする。下の問いに答えよ。 (a)Xの確率密度関数を書け。 (b)X^2の確率密度関数を求めよ。 (3)X,Yは独立な確率変数であり、Xはパラメータλ1のポアソン分布Po(λ1)に従い また、Yはパラメータλ2のポアソン分布Po(λ2)に従うとする。 このときX+Yの確率分布を求めよ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率密度関数について
次の確率密度関数について以下の問いに答えよ。 f(x) = (1/2) * e^(-|x|) (-∞ < x < ∞) (1) この分布の分布関数を求めよ。 (2) この分布の平均を求めよ。 (3) この分布の分散を求めよ。 という問題が解けなくて困っています。 e^(-|x|)は、eのマイナス絶対値x乗という意味です。 (1)すら解けません。絶対値が入っていて、もうわけが分かんないです。 どなたかこの問題が解ける方いらっしゃらないでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 互いに独立な時の確率密度関数
大学で出された問題でさっぱり分からなかったので、お力添えください。 (問題) 正規分布に従う確率変数XとYは、ともに分散は1であるが、Xの平均値は-1、Yの平均値は1である。 互いに独立であるX、Yから作られる確率変数ZをZ≡X/√2+√2Yで定義するとき、Zの確率密度関数pz(z)を求め、その概形をグラフに描け。 簡単だとは思いますが、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率・統計の問題です。
以下の問題の解答をお願いします。事象Aの発生確率がpである試行を繰り返すとき、(x+1)回目にはじめて事象Aが発生する確率がある確率分布Pr{X = x}(x = 0, 1, 2, …)に従うとする。 (1)確率変数X, Yが独立で、それぞれがこの確率分布に従うとき、Pr{X + Y = k}を求めよ。 (2)確率分布Pr{X = x}(x = 0, 1, 2, …)のモーメント母関数m(t) = E[e^tX]を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 密度関数の求め方(確率論)
問題 X,Y:標準正規分布N(0,1)を分布にもつ独立な実確率変数とします このときZ=X/Yの分布は1/π(1+x^2)を密度関数に持つことを示せ というものなんですが、 これはいわゆるCauchy分布です Zの分布関数を地道に計算すればいいんですが、 どうもうまくできません。 計算の経過も丁寧に解説してくれる人がいたらどうかお願いします ただ、公式を適用するとかいうのはなしでお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 統計学 独立かどうかについて
いつもお世話になっております. 次の問題の考え方が分からないために困っております. XとYは同時確率密度関数が次のように定義されている連続型同時分布関数である. f(x,y)=(3/2)y^2 (0≦x≦2, 0≦y≦1) =0 (その他) 1.XとYの周辺確率分布関数を求めなさい. 2.XとYは独立であるかを調べなさい. 3.{X<1}という事象と{Y≧1/2}という事象は独立であるかを調べなさい. 1についてはfX(x)=1/2,fY(y)=3y^2と算出でき,その結果を用いて2の答えは独立であると分かったのですが,3に関してはどうすればいいのか全く分かりません. どなたかご教示いただけないでしょうか?何卒よろしくお願い致します.
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
調べてみたところ、指数分布と幾何分布は無記憶性をもつということを知りました。 どちらの問題もt=0以降しか確率の計算結果に影響しない。 よって何年後、何分後の未来だろうが、その時点でt=0とおいて考えてよいということでしょうか? >「条件付き確率として計算してはいけない」などということは全くありません 指数分布でも条件付きで計算してもよいということですか? 例えば、2つ目の問題の場合、私は 「答え=(区間t=5から10の確率)/(区間t=0から5の確率)」 と計算したのですが、これでもよいのでしょうか? (この結果は選択肢にありませんでした。)