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確率・統計の問題です。
以下の問題の解答をお願いします。事象Aの発生確率がpである試行を繰り返すとき、(x+1)回目にはじめて事象Aが発生する確率がある確率分布Pr{X = x}(x = 0, 1, 2, …)に従うとする。 (1)確率変数X, Yが独立で、それぞれがこの確率分布に従うとき、Pr{X + Y = k}を求めよ。 (2)確率分布Pr{X = x}(x = 0, 1, 2, …)のモーメント母関数m(t) = E[e^tX]を求めよ。
- hikamichael
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最初に事象Aの発生する確率はpだから P(X=0)=p 最初に事象Aが発生しない確率は1-pで 2回目事象Aが発生する確率はpだから P(X=1)=(1-p)p 最初に事象Aが発生しない確率は1-pで 2回目に事象Aが発生しない確率は1-pで 3回目事象Aが発生する確率はpだから P(X=2)=p(1-p)^2 最初からk-1回目までそれぞれ事象Aが発生しない確率は1-pで k回目に事象Aが発生する確率はpだから P(X=k)=p(1-p)^k (1) P(X+Y=k) =Σ_{x=0~k}P(X=x)P(Y=k-x) =Σ_{x=0~k}[p(1-p)^x][p(1-p)^{k-x}] =(k+1)p^2(1-p)^k (2) m(t) =E[e^{tX}] =Σ_{x=0→∞}e^{tx}P(X=x) =Σ_{x=0→∞}e^{tx}p(1-p)^x =pΣ_{x=0→∞}e^{tx}(1-p)^x =pΣ_{x=0→∞}{(1-p)e^t}^x ↓|(1-p)e^t|<1の時p/{1-(1-p)e^t}に収束する =p/{1-(1-p)e^t} t<log(1/|1-p|)の時 m(t)=p/{1-(1-p)e^t}
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- jcpmutura
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(1) P(X+Y=k)=(k+1)p^2(1-p)^k (2) m(t)=pΣ_{x=0→∞}{(1-p)e^t}^x ↓r=(1-p)e^tとすると =pΣ_{n=0→∞}r^n=p(1+r+r^2+…+r^n+…) ↓初項p公比r=(1-p)e^tの等比級数だから ↓公比|r|=|(1-p)e^t|<1の時p/(1-r)=p/{1-(1-p)e^t}に収束する =p/(1-r) =p/{1-(1-p)e^t}
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