確率についての問題です。回答お願いします。

質問

Ｘは次の確率分布に従う確率変数とする。
Ｐ（Ｘ＝ｎ）＝ｐ（１－ｐ）＾（ｎ－１）、ｎ＝１，２・・・（０＜ｐ＜１）
Ｙを期待値３のポアソン分布に従う確率変数とする。また、ＸとＹは互いに独立であるとする。
（１）期待値Ｅ（Ｘ）、Ｅ［Ｘ（Ｘ－１）］，Ｅ［Ｙ（Ｙ－１）］を求めてください。
（２）Ｘ＋Ｙの期待値と分散を求めてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#154783

> 途中ちょっとわからなかったのですが、
>
> = p∑[x=1,∞] xq^(x-1)　
> から
> = p d/dq ∑[x=1,∞] q^x
> への展開で、d/dqを使うのは何らかの
> 公式を使っていますか？

この「d/dq」は今回の問題における本質的な部分ではなく，和の計算のテクニックです．

p∑[x=1,∞] xq^(x-1)

の和の計算なんですけど，q^(x-1)の部分は等比数列になっていて，こいつの和（無限等比級数）の公式

∑[x=1,∞] q^(x-1) = 1/(1 - q)

は高校で習うのですが，今回の和では等比数列q^(x-1)に余計な因子xが掛かっており，私は

∑[x=1,∞] xq^(x-1)

がどうなるのかは覚えてません．和を計算するものの気持ちとしては「x邪魔だな．なんとかして消せないかな」と思ってしまいます．そこで，

xq^(x-1) = (d/dq) q^x

であることを利用すれば，

∑[x=1,∞] xq^(x-1) = ∑[x=1,∞] (d/dq) q^x = d/dq ∑[x=1,∞] q^x

と変形できて，最後の和は「初項q，公比qの無限等比級数」ですから，

∑[x=1,∞] xq^(x-1) = d/dq ∑[x=1,∞] q^x = d/dq {q/(1-q)} = 1/(1 - q)^2.

回答No.1

noname#154783

ちょっと計算が長いので，割と端折ってます．

(1)
Xの確率分布関数については，式が煩雑になるのを避けるため，
q = 1-p
を導入します：

P(X=x) = pq^(x-1), x = 1, 2, 3, ...

そうすると，

E[X]
= ∑[x=1,∞] xpq^(x-1)
= p∑[x=1,∞] xq^(x-1)
= p d/dq ∑[x=1,∞] q^x
= 1/p.

E[X(X-1)]
= ∑[x=1,∞] x(x - 1)pq^(x-1)
= p d/dq ∑[x=1,∞] (x - 1)q^x
= p d/dq {q^2 ∑[x=1,∞] (x - 1)q^(x-2)}
= 2(1 - p)/p^2.

ポアソン分布については期待値をλとして計算します．
必要ならλ = 3としてください．

P(Y=y) = e^(-λ) λ^y /y!, y = 0, 1, 2, ...

E[Y(Y-1)]
= E[Y^2] - E[Y].

ここで，分散V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2を用いると，

E[Y(Y-1)]
= V[Y] + (E[Y])^2 - E[Y]
= λ^2.

(2)
E[X+Y]
= E[X] + E[Y]
= 1/p + λ.

V[X+Y]
= E[(X+Y)^2] - (E[X+Y])^2
= E[X^2 + Y^2 + 2XY] - (E[X+Y])^2
= E[X(X-1) + Y(Y-1) + X + Y + 2XY] - (E[X+Y])^2
= E[X(X-1)] + E[Y(Y-1)] + E[X+Y] + 2 E[X] E[Y] - (E[X+Y])^2
= 2(1 - p)/p^2 + λ^2 + 1/p + λ + 2λ/p - (1/p + λ)^2
= 2(1 - p)/p^2 + 1/p + λ - 1/p^2
= (1 - p)/p^2 + λ.

計算間違ってたらすみません．

補足

わかりやすい回答ありがとうございます！
ものすごく助かりました！！！

途中ちょっとわからなかったのですが、

= p∑[x=1,∞] xq^(x-1)　
から
= p d/dq ∑[x=1,∞] q^x
への展開で、d/dqを使うのは何らかの
公式を使っていますか？