物理II

質問

こんばんは

この前、物理IIの授業で問題が当たったのですがなかなか解けないのでお願いします

～問題～

全質量Ｍのロケットが速さＶでとんでいるとき、質量ｍの燃焼ガスを瞬間的に後方へ噴射した。ガス噴射後のロケットに対する燃焼ガスの相対的な速さをｖとして、ガス噴射後におけるロケットの速さを求めよ

出来れば、簡単な解説もしてほしいです

よろしくおねがいします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

「運動量保存則」を使います。

念のため、説明しておきますと、

「運動量」とは、質量×速度、で表される物理量、

「運動量保存則」とは、

例えば、

２つの球がぶつかって
(止まっている球に、動いている球がぶつかる場合でも、
動いている球どうしがぶつかる場合でも)、
硬い球どうしで、反発して別々に動き出す場合でも、
(片方はそこで止まってしまう場合も含む)
粘土の球どうしで、合体して１つの球になって
動き出す場合でも、
この問題のように、１つの物体が分裂して、
それぞれの塊が別の運動をはじめる場合でも、

ぶつかったり分裂したりする前の状態の運動量の合計
＝別々にでも合体してでも動きだしたあとの状態の運動量の合計
が成り立つ、ということです。

直線上の運動変化でなく、２次元的な変化であれば、
x軸方向、y軸方向の両方で、運動量保存を考えます。

なので、問題の例では、燃焼ガスを、進行方向の
真後ろに噴出するので、加速も直線上で行われる
ので、そこは面倒がない、

最初のロケットと燃焼ガスが一体の時の運動量は、
当然、MV、になり、

分裂した後では、

ロケットの方の運動量は、
質量が、燃焼ガス分だけ減ったので、M
その後のロケット(の残り)の速度は解らないので、
　とりあえず、V'とおいてみると、
ロケット(の残り^^)の運動量は、MV'、

噴出した燃焼ガスですが、後方に相対速度vで噴出した、
元々、燃焼ガスは、ロケットと一体で、ロケットの進行
方向に、速度Vで移動していた訳だから、噴出後の
ガスの絶対速度は、V-v、質量は、m、なので、
噴出した燃焼ガスの運動量は、m(V-v)

一体だった状態と、分裂した状態の、
それぞれの運動量の合計は保存する、等しいので、

MV = (M-m)V' + m(V-v)、
(M-m)V' = MV - m(V-v) = (M-m)V + mv、
V' = V + {m/(M-m)}v、

ということになります。

運動量の場合には、速度が１乗できく、ということは、
２乗できくエネルギーの問題と違って、単純な足し算も
できるので、分裂後にロケットの速度が増える分を、
ΔVとして、相対速度で、
前の状態の運動量は相対速度0と考えて、運動量も0、
0 = (M-m)ΔV + m(-v)、
(M-m)ΔV = mv、
ΔV = {m/(M-m)}v、
V' = V + ΔV = V + {m/(M-m)}v、
のようにすることもできます。
(運動エネルギーの問題では、こんなことしないように^^)

回答No.2

ninoue

この問題には次のような法則が関係しています。
"作用反作用の法則"
"運動量保存の法則"

その法則をロケットに当てはめた説明は
"作用反作用の法則　ロケット"
"運動量保存の法則　ロケット"

以上のように " "の中の言葉でサーチして調べて下さい。

例えば次等が参考になりそうです。
http://www.oroppas.or.jp/school/hassamu/rocket/rocket.html
水ロケットの飛距離の研究

なお、最初ロケットが静止状態であっても、速さVで飛んでいても、燃焼ガスの相対的な速さv、ガス噴射後におけるロケットの早さの増分値を考えた場合は一緒です。

先ずはロケットの質量:Mに比べて、燃焼ガスの質量:は十分小さいとして式を立ててみてください。

上記水ロケットの研究で次の部分

６．ロケットが飛ぶ理由
m1・v1+m2・v2＝m1（v1+△v1）+m2（v2+△v2）
　ゆえに次式を得る。
　　m1・△v1＝m2・△v2
　つまり，
　　△v2＝-（m1／m2）・△v1

に対応して考えると、次の通り対応している筈ですので確認してみてください。
m1=M, m2=m, △v1-△v2=v

お礼

ありがとうございます^^

参考にしてもっかい解いてみます！