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運動方程式3
運動方程式の問題を解いてみて解答と違うのですが どう違うのでしょうか? 問題 ロケットはガスを後方に噴射し、その反動で加速する。t=0で質量Mのロケットが毎秒aのガスをロケットに対し速さv0で後方に噴射する。t秒後のロケットの速さを求めよ。ただしt=0でロケットは静止している 自分の回答 t秒後の速度をvとするとロケットの質量は(M-at)となるから 運動方程式より 0=(M-at)v+at(v-v0) 解答 t秒後の速度をvとするとロケットの質量は(M-at)となるから、ΔtごとにaΔtの質量を後方に放出すると考えると (M-at)v=(M-at-aΔt)(v+Δv)+at(v-v0) 自分の回答とどう違うのか、また解答のほうの説明をお願いします
- pluta
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- 物理学
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質問者が選んだベストアンサー
#2です。 私の出した式は (M-at)V=(M-at-aΔt)V'+aΔt(V-vo) 解答に示されている式は (M-at)V=(M-at-aΔt)V'+at(V-vo) 違いが分かっていただけるでしょうか。 #3の式(1)は私の式と同じです。 運動量保存法則をある時刻での分裂に対して当てはめています。 分裂によって離れていく物体の質量としてΔt の間に放出されたガスの質量aΔt を考えています。atとすればロケットが出発してから今考えている時間までのの間全部で放出されたガスの質量になってしまいます。
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- suzukijun
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#3,4です。 本当だ!#2さん、すみません。 私の答えは、#2さんと同じ結論です。 pluta さんの答えは、ガスを徐々に噴射したのではなく、t秒後に一気にatだけ噴射した時の運動量保存の式です。
お礼
遅くなりました、質問に対して細かな説明ありがとうございます
- suzukijun
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すみません, ---------------- よって v=av0×∫(M-at)dt=av0×(-1/a)log(M-at)+A ---------------- はまちがいで, ---------------- よって v=av0×∫1/(M-at)dt=av0×(-1/a)log(M-at)+A ---------------- が正しいです。すみませんでした。
- suzukijun
- ベストアンサー率80% (4/5)
僕は,解答で示された (M-at)v=(M-at-aΔt)(v+Δv)+at(v-v0) は,あっていると思います。 解答の式の意味は, t秒後のロケットの質量を m,そのときの速度を v と置けば,運動量は mv それからΔt秒後の質量は m-aΔtとなり,速度は v+Δvになったとすると, ロケットの運動量は (m-aΔt)(v+Δv) です。 このとき,噴射したガスの質量は aΔt で,速度は v-v0 ですので,運動量保存則は, mv=(m-aΔt)(v+Δv)+aΔt (v-v0) …(1) です。 この式に,t秒後の質量 m=M-at を代入すれば解答の式です。 ------------------------------------- ちなみに解いてみると,(1)を展開して, mv=mv+mΔv-avΔt-aΔtΔv+avΔt-av0Δt 0=mΔv-aΔtΔv-av0Δt よって m(Δv/Δt)=aΔv-av0 …(2) ここで,Δt→0 にて,Δv→0,かつΔv/Δt→dv/dt なので,(2)式は m(dv/dt)=av0 mは変数(m=M-at)なので, dv/dt=av0/m=av0/(M-at) よって v=av0×∫(M-at)dt=av0×(-1/a)log(M-at)+A v=A-v0log(M-at) (Aは積分定数) t=0 にて v=0 より,A=v0log(M) よって, v=v0log(M)-v0log(M-at) logをまとめて, v=v0log(M/(M-at)) ちなみに,v-tグラフは原点を通る右上がりの曲線で,t=M/aにてv=∞になる(漸近線がt=M/aの意味)
- htms42
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運動している1つの物体が2つに分かれるというのは運動量保存の式で考えます。2つの物体が衝突して1つになるというのの逆のことが起こっているのですから衝突の式を使うことが出来ます。 時間tで質量(M-at)、速度Vの物体がΔt後に2つに分裂した。分裂した時の小さい方の物体の質量をm、速度をvとします。大きい方の速度はV'に変化します。 運動量保存の式を立てると (M-at)V=(M-at-m)V'+mv です。 ここでm=aΔt、v=V-vo (vo>0)です。 代入すると (M-at)V=(M-at-aΔt)V'+aΔt(V-vo) ΔV=V'-V とします。他の量に比べてaΔVΔtが小さいとして無視すると ΔV/Δt=・・・ という式がでてきます。これは微分方程式です。t=0でV=0という条件で解くことができます。 解答の式も違っているように思います。
- ZIMA0063
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これは、力積と運動量の問題だと思ったほうがいいような気がしますが・・・ いかがでしょう。
お礼
おそくなりました。力積の観点からとは思いつきませんでした 考えて見ます。ありがとうございます
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遅くなりました、丁寧な解答ありがとうございます もやもやがとれました