数学の問題の解き方について

質問

問題の中の具体的にわからない部分について質問します。

解答を見てもよくわからないので、少しわかりやすく教えてください。

３ｘ＋７ｙ＝２００

この式を満たす数字の組み合わせは何通りあるか？　

(x，yはともに商品の個数ということで、最低両方1以上という条件です)

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

３ｘ＋７ｙ＝２００・・・（ア）を満足するｘとｙを一組
見つけましょう。
６０と１４０で２００になるので、ｘ＝２０とｙ＝２０で
いいでしょう。
そうしたら（以下×の記号を省略します）
３（２０）＋７（２０）＝２００・・・（イ）
（ア）の左辺から（イ）の左辺を引き、（ア）の右辺から
（イ）の右辺を引くと、
左辺は３ｘ＋７ｙー（３（２０）＋７（２０））
　　＝３（ｘ－２０）＋７（ｙ－２０）
右辺は０。従って３（ｘ－２０）＋７（ｙ－２０）＝０
から　３（ｘ－２０）＝７（２０－ｙ）・・・（ウ）
この等式が成り立つためには、７は３の倍数ではありません
から、（２０－ｙ）が３の倍数になる必要があるので、Hを
整数として（２０－ｙ）＝３Hとおきます。
ｙ＝２０－３H・・・（エ）です。（エ）を（ウ）に代入して
３（ｘ－２０）＝７・３H　からｘ＝７H＋２０
以上からHを整数として
ｘ＝７H＋２０
ｙ＝２０－３H
が３ｘ＋７ｙ＝２００の一般解となります。
後はｘ≧１から７H＋２０≧１、H≧（－１９）/７から
H≧－２
ｙ≧１から２０－３H≧１、１９/３≧Hから
６≧Hとなり、Hは－２≦H≦６、すなわち、
－２、－１、０、１、２、３、４、５、６の計９個の値をとることが
できます。従って答えは９通りとなります。
具体的に計算すると
H＝－２のとき：ｘ＝６　　、ｙ＝２６
H＝－１のとき：ｘ＝１３　、ｙ＝２３
H＝０のとき　：ｘ＝２０　、ｙ＝２０
H＝１のとき　：ｘ＝２７　、ｙ＝１７
H＝２のとき　：ｘ＝３４　、ｙ＝１４
H＝３のとき　：ｘ＝４１　、ｙ＝１１
H＝４のとき　：ｘ＝４８　、ｙ＝８
H＝５のとき　：ｘ＝５５　、ｙ＝５
H＝６のとき　：ｘ＝６２　、ｙ＝２
となります。

お礼

ありがとうございます。

数学音痴の私に詳しく易しい解説をありがとうございます。

>３ｘ＋７ｙ＝２００・・・（ア）を満足するｘとｙを一組
>見つけましょう。
>６０と１４０で２００になるので、ｘ＝２０とｙ＝２０で
>いいでしょう。

この時の一組は、なんでもいいのでしょうか？

>（ア）の左辺から（イ）の左辺を引き、（ア）の右辺から
>（イ）の右辺を引くと、

これは答えを出す過程で、そういう作業をするものだと覚えておけば
よいでしょうか？

回答No.6

Tacosan

#2 へのお礼で「この時の一組は、なんでもいいのでしょうか？」と書かれているのですが, なぜ自分で試そうとしないのでしょうか?

お礼

そうですね。

つい、思いついてすぐに質問してしまったのです。

おっしゃる通りです。反省です。

回答No.5

yyssaa

>３ｘ＋７ｙ＝２００・・・（ア）を満足するｘとｙを一組
>見つけましょう。
>６０と１４０で２００になるので、ｘ＝２０とｙ＝２０で
>いいでしょう。

この時の一組は、なんでもいいのでしょうか？

>なんでもいいと思います。ためしに、この問題のほかの一組が
　最初に見つかったとして、試してみて下さい。

>（ア）の左辺から（イ）の左辺を引き、（ア）の右辺から
>（イ）の右辺を引くと、

これは答えを出す過程で、そういう作業をするものだと覚えておけば
よいでしょうか？

>一般解を機械的に得るための手続きとして、覚えておいて損は無い
　でしょう。

お礼

詳しい回答ありがとうございました。

参考になりました。

正直、もっと単純な問題だと思っていましたが
案外、複雑なんだと感じました(私の場合このレベルでも十分複雑に感じます)

もっと勉強せねばと感じました。

お世話になりました。

回答No.4

mister_moonlight

＞願わくば、もう少し中学生にもわかりやすいような解き方はありませんか？

そういうこと＝対象が中学生、と言う事は最初の質問の時に書いてくれよ。
これは、高校で扱う“1次不定方程式”というものだから、その回答をしたまで。

３ｘ＋７ｙ＝２００　→　3ｘ＝200-7ｙ≧3　だから　1≦y≦28。
これを　y＝1から28まで“手間隙かかるが”3ｘ＝200-7ｙに代入して、この右辺が3の倍数(＝その時は、ｘは自然数になる)を求める。
200-7ｙが3の倍数になるから、その1位の数が3の倍数になることが必要。
それは2つ置きに現れる整数、つまり、2、5、8、11、14、17、20、23、26。

中学生に分かるように、と言われるとシンドイな。。。。。。小学生と中学生は　苦手。。。。。ｗ

お礼

ありがとうございます。

そして、すみませんでした。

私はこれが「高校で扱う“1次不定方程式”」というこをさえ知りませんでした。

私は数学が苦手で苦労してきた者ですが
いまさらにその数学的なものを教えることになってしまいました。

しかも、相手は二十歳を超えた大人ですが、
中学の数学もほとんど理解していない相手です。

解答、参考になりました。

ありがとうございます。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

まず、x, y が正の整数になるものを見つけます。

y=1 から始めると

y=1 は駄目、y=2 では x = 62 で OK。

次に x が 整数になるには、これを基準にして、7y が3の倍数だけ
変化すればよいわけですが、3と7 の最小公倍数は 21 なので、
y の値は 3 ずつ増やしてゆけばよいことになります。
# 2 に３の倍数を足せばよい。

x, y も正の整数なので、y <= 28 は明らか。なので

y=2, y=5, y=8, y=11, y=14, y=17, y=20, y=23, y=26

で9通り。

お礼

ありがとうございます。

＞次に x が 整数になるには、これを基準にして、7y が3の倍数だけ
＞変化すればよい

この理由を、できれば噛み砕いて教えて頂けると助かります。

回答No.1

mister_moonlight

３ｘ＋７ｙ＝２００ →　3*(x+2y)＋y＝200。x+2y＝αとすると　3α＋y＝200
よって、3α＝1*(200-y)。　1と3は互いに素から、kを整数として、α＝k、y＝200-3k。
x＝-2y＋αだから　　x＝7k-400.　つまり　(x、y)＝(7k-400、200-3k)。これが一般解。
xとyは共に自然数から　7k-400≧1、200-3k≧1。よって、kは整数から　58≦k≦66。
以上から、組み合わせは　　9通り。
k＝58、59、60、61、62、63、64、65、66　を代入すれば　xとyの具体値が求められる。

お礼

ありがとうございます。

数学苦手の私には少々難しかったですが、なんとか手順はわかりました。

願わくば、、もう少し中学生にもわかりやすいような解き方はありませんか？

(できれば算数的な解き方はありませんか？)