漸化式

質問

例えばa(1)=5,a(n+1)=9{a(n)}²という問題があってlogを使って解くのなら真数条件を必ず確かめなければいけないと言われましたがどうやったらいいのですか。a(n+1)＞0かつ9{a(n)}²＞0とするのでしょうか。どの参考書にも載っていなかったので詳しい方はすみませんが真数条件の確認の仕方を教えて下さい。あと底の取り方も教えて下さい。お願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

「真数条件」、大事ですね。
右辺については対数をとって少し変形すると、
log( 9* {a(n)}^2 )＝ 2* log( a(n) )+ log(9)

となるので、やはり a(n)＞ 0でなければならないことになります。
そもそも漸化式の右辺は、それだけで 0以上であることは言えますね。
あとは、0に等しくならないことを言えれば、それで真数条件は満たされます。

「底のとり方」ですが、計算できるのであれば「何でもいいです」
ただ、後々計算しやすくすることを考えれば、
今の問題の場合、「9」という数字に注目すべきかと。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。テストだったので助かりました。おかげで合格点とれました(^^)v

回答No.4

dreamfighter

厳密にやるのだったらa(n+1)＞0を数学的帰納法で示せばいいです。ですがこの問題はa(n+1)＞0は明らかです。a(1)=5,a(n+1)=9{a(n)}²からすぐに分かりますよね。解答としては「与えられは漸化式がa(1)=5,a(n+1)=9{a(n)}²であり、an＞0である。」と書けばいいです。

底に関しては何でもいいです。（いろいろためしてみてどんなのでも答えが一緒になるのを確かめてもいいですね。）まあ3が無難かな？対数をとった後にlog(3)9=2で簡単になる。数IIIやったのならeでもいいと思います。eなら書かなくていいから。

お礼

ありがとうございました。ちなみにまだ高1なので数IIIはやっていません。

回答No.3

JOUNIN

底がa,真数がxの対数をlog_a(x)と表すことにします
このときa≠1かつa>0であり、x>0が条件です

与漸化式について両辺の対数を取るのならば、底は基本的に任意ですので
今は底を9にとることにします
今はa_1=1とa_(n+1)=9(a_n)^2から帰納的にa_n>0とわかりますので
もう真数条件は満たしています
したがって
log_9(a_(n+1))=log_9(9(a_n)^2)
⇔log_9(a_(n+1))=2log_9(a_n)+1
ここでlog_9(a_n)=b_nとおくと
b_(n+1)=2b_n+1
⇔b_(n+1)+1=2(b_n+1)
b_1+1=log_9(a_1)+1=log_9(1)+1=1であるから
b_n=2^(n-1)-1
∴log_9(a_n)=2^(n-1)-1
∴a_n=9^{2^(n-1)-1}

今は任意のnについてa_n>0がすぐさまわかりましたが、一般には負の場合もあります
この場合対数をとるならば絶対値を付けなければいけません
しかしあるnでa_nが負になるものを対数を使って解くということは今まで経験したことが
ありません
おそらく、帰納的にすぐ任意のnでa_n>0がわかる数列しか問題にならないと思います
したがってそのことを述べるだけでいいと思います
逆にあるnでa_nが負になる数列の場合、対数を使わない解法を考えるべきです

お礼

詳しい解説ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

＞a(1)=5,a(n+1)=9{a(n)}²

これらの条件から、a(n)は必ず正であることがわかります。
よって、log(a(n))>0

対数の底は、10でもeでも他の値でもお好きなように。何を底にしたところで、最後には元に戻すのですから。

log(a(n+1))=2log(a(n))+log(9)
log(a(n+1))+log(9)=2(log(a(n))+log(9))
数列{log(a(n))+log(9)}は、初項log(5)+log(9)=log(45)、公比2の等比数列
log(a(n))+log(9)=log(45)・2ⁿ⁻¹
log(a(n))=log(45)・2ⁿ⁻¹-log(9)
a(n)=(45^(2ⁿ⁻¹))/9

お礼

詳しい解説ありがとうございました。