漸化式を誰か教えてください

質問

今、漸化式の問題を解いているのですがどうしても分からない問題があるので教えてください。
問題は
a(1)=(1/3),【3＾(n-1)】a(n＋1)=【3＾n】a(n)＋1(n=1,2,3,…）で定められる数列{a(n)}の初項から第n項までの和をS(n)とする。
このとき、lim【n→∞】S(n)の値は3/4で求めかたが分かりませんので、所々教えてください。
時間があるかた教えていただければ幸いです。

この問題を解くにはb(n)＝【3＾n】a(n)とすると漸化式が求められるそうなのですが
(1)
b(n＋1)=b(n)＋1になるのでしょうか？
【3＾(n-1)】a(n＋1)はb(n＋1)になってしまうの？

(2)
b(1)=3*((1/3)=1になってしまうの？

(3)
b(n)=1＋(n-1)*1=nの式はどこから現われたのか？

(4)
a(n)=【n/(3＾n)】とSn=Σ(n,k=1) 【k/(3＾k)】は何処から現れたのか？

(5)
S(n)-(1/3)*S(n)は何処から現われたのか？

(6)
↑を計算すると(1/3)＋(1/3＾2)＋…＋(1/3＾n)-【n/(3＾(n＋1)】
となりますが、どうしてΣ(n,k=1)【n/(3＾(n＋1)】となるのでしょうか？

(7)
（【(1/3)*{1-(1/3)n}】/【1-(1/3)】）　－n/【3＾(n＋1)】は何処から現われたのでしょうか？
↑を計算すると(1/2)*【1-(1/3)n】－n/【3＾(n＋1)】となります。
Ｓ(n)=(3/4)*【【1-(1/3)n】】-(3/2)*n/【3＾(n＋1)】の形にどうしてなるのか分かりません。

(8)
↑の式は(1/3)nのnに∞を代入して0,【3＾(n＋1)】のnの部分に代入して0になって3/4となるのでしょうか？

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

内容を拝見すると、問題の漸化式に誤記があるように思います。
　a(n+1)の係数は3^(n＋1)になっていませんか？
　そうでないと、(1)以降に記されている式は出てきませんし、lim【n→∞】S(n)も収束しません。
　以下、上記の誤記があると想定して、説明します。

(1)　b(n＋1)=b(n)＋1になるのでしょうか？

　なります。
　3^(n+1)・a(n＋1)がb(n＋1)になります。

(2)　b(1)=3*((1/3)=1になってしまうの？

　そうです。
　　b(1)=3^1・a(1)=3・(1/3)=1

(3)　b(n)=1＋(n-1)*1=nの式はどこから現われたのか？

　与えられた漸化式を数列{b(n)}について表すと次のようになります。
　　b(n+1)=b(n)+1
　この漸化式から、数列{b(n)}は初項１、交差１の等差数列になっていることが分かります。等差数列の一般項は、(初項)＋(n-1)(交差)で表せますので、
　　b(n)=b(1)+(n-1)×1＝1+(n-1)×1=n
となります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97#.E7.AD.89.E5.B7.AE.E6.95.B0.E5.88.97.E3.83.BB.E7.AD.89.E6.AF.94.E6.95.B0.E5.88.97.E3.81.AE.E6.BC.B8.E5.8C.96.E5.BC.8F

(4)　a(n)=【n/(3＾n)】とSn=Σ(n,k=1) 【k/(3＾k)】は何処から現れたのか？

　(3)でb(n)=nと分かりましたので、b(n)の定義式b(n)＝3＾n・a(n)から、
　　a(n)=b(n)/3^n=n/3^n
と求められます。また、S(n)は
　　S(n)=Σ(n,k=1) a(n)
から求められます。

(5)　S(n)-(1/3)*S(n)は何処から現われたのか？

　これはS(n)を簡単な式で表すためのテクニックから出てきます。
　S(n)をΣを使わずに表現すると、
　　S(n)=1/3+2/9+3/27+4/81+・・・+(n-1)/3^(n-1)+n/3^n
と表されます。学校では、等差級数と等比級数の求め方を習っていますので、これが何とか使えないかと考えて見ます。そこで、もし上の式の右辺の分子がすべて１だったら、初項1/3、公比1/3の等比級数の公式が使えるのにな、と気づきます。次に、分子を１にする方法はないかなと考えます。そのとき、右辺の各項の分子は１ずつ増えていることに注目します。もし各項を１つずつずらして引き算することができれば、各項の分子は１になるなと。そして、各項を１つずつずらには各項に1/3を掛ければよいのではないかと。
　そこで、次のような操作をして、各項をずらしてみます。
　　1/3・S(n)=　　1/9+2/27+3/81+4/243+・・・+(n-1)/3^n+n/3^(n+1)
　そうすると、S(n)の右辺と比べると、最後の項以外の各項の分子はちょうど１少ないものになっていますので、S(n)から1/3・S(n)を引けば、等比級数に似た形になることが分かります。そこで、計算を実行してみますと、次のようになります。
　　S(n)-1/3・S(n)＝1/3+(2-1)/9+(3-2)/27+(4-3)/81+・・・+{(n-1)-(n-2)}/3^(n-1)+{n-(n-1)}/3^n-n/3^(n+1)
　　　　　　　　＝1/3+1/9+1/27+1/81+・・・+1/3^(n-1)+1/3^n-n/3^(n+1)
　これを見ますと、右辺は、最後の項を除くと、初項1/3、公比1/3、項数nの等比級数になっていますので、次のように書き表せます。
　　S(n)-1/3・S(n)＝1/3・{1-(1/3)^n}/(1-1/3)-n/3^(n+1)
　　2/3・S(n)＝1/2・{1-(1/3)^n}-n/3^(n+1)
　∴S(n)＝3/4・{1-(1/3)^n}-n/2・1/3^n
とS(n)を求めることができます。

(6)　S(n)-(1/3)*S(n)を計算すると(1/3)＋(1/3＾2)＋…＋(1/3＾n)-【n/(3＾(n＋1)】となりますが、どうしてΣ(n,k=1)【n/(3＾(n＋1)】となるのでしょうか？

　上記(5)で記しましたように、右辺は、Σ(n,k=1)【n/(3＾(n＋1)】とはならないと思います。
　あえてΣで書き表せば、Σ(n,k=1)1/3^k　＋n/3^(n+1)になると思います。

(7)　（【(1/3)*{1-(1/3)n}】/【1-(1/3)】）　－n/【3＾(n＋1)】は何処から現われたのでしょうか？
↑を計算すると(1/2)*【1-(1/3)n】－n/【3＾(n＋1)】となります。
Ｓ(n)=(3/4)*【【1-(1/3)n】】-(3/2)*n/【3＾(n＋1)】の形にどうしてなるのか分かりません。

　上記(5)で示しましたように、S(n)-1/3・S(n)の右辺の各項が-n/3^(n+1)を除いて、初項1/3、公比1/3、項数ｎの等比級数になっていることから公式を使って求められています。
　また、S(n)-1/3・S(n)の左辺は計算すれば2/3・S(n)ですから、S(n)-1/3・S(n)の式の両辺を3/2倍すれば、S(n)の式が得られるはずです。

(8)　Ｓ(n)=(3/4)*【【1-(1/3)n】】-(3/2)*n/【3＾(n＋1)】の式は(1/3)nのnに∞を代入して0,【3＾(n＋1)】のnの部分に代入して0になって3/4となるのでしょうか？

　そうです。
　１より小さいの正の数を繰り返しかけていくと、どんどん小さくなり、これを無限回繰り返すと終いには０に近づいていくからです。
　ただ、厳密に言えば、後者の【3＾(n＋1)】は、【n/3＾(n＋1)】といわなければなりません。ｎが無限大になると、分子のｎも無限大になりますが、分母の3＾(n＋1)はそれよりも早く無限大になりますので、分数全体としては０になります。

回答No.4

kkkk2222

【3＾(n-1)】a(n＋1)=【3＾n】a(n)＋1　は誤植で、
【3＾(n＋1)】a(n＋1)=【3＾n】a(n)＋1。

Ａ（１）＝（１／３）
【３＾（ｎ＋１）】Ａ（ｎ＋１）＝１＋【３＾（ｎ）】Ａ（ｎ）

【３＾（ｎ）】Ａ（ｎ）＝Ｂ（ｎ）とおくと、
Ｂ（ｎ＋１）＝Ｂ（ｎ）＋１
Ｂ（１）＝３＊（１／３）＝１

Ｂ（ｎ）は、初項１、公差１の等差数列なので、
等差数列の一般項の公式、
＜一般項＝初項＋（ｎ－１）＊公差＞を使用して、
Ｂ（ｎ）＝１＋１＊（ｎ－１）＝１＋ｎ－１＝ｎ
Ｂ（ｎ）＝ｎ

Ａ（ｎ）＝ｎ／【３＾（ｎ）】

第ｎ項までの、部分和Ｓ（ｎ）は、
Ｓ（ｎ）＝Σ［１、ｎ］（ｋ／【３＾（ｋ）】）

Ｓ（ｎ）=(1/3)+2((1/3)^2)+,,,,,+n((1/3)^n)
(1/3)Ｓ（ｎ）=((1/3)^2)+2((1/3)^3)+,,,,+(n-1)((1/3)^n)+n((1/3)^(n+1))
Ｓ（ｎ）-(1/3)Ｓ（ｎ）=［(1/3)+((1/3)^2)+,,,+((1/3)^n］ー［n((1/3)^(n+1))］

［(1/3)+((1/3)^2)+,,,+((1/3)^n］は、初項(1/3)、公比(1/3)の等比数列なので、
＜等比数列の和の公式、初項＊（１－公比＾ｎ）／（１－公比）＞
(1/3)（１－（(1/3)^n））／（１－(1/3)）＝（１／２）（１－（(1/3)^n）
Ｓ（ｎ）-(1/3)Ｓ（ｎ）＝（２／３）＊Ｓ（ｎ）

（２／３）＊Ｓ（ｎ）＝（１／２）（１－（(1/3)^n））ー［n((1/3)^(n+1))］
Ｓ（ｎ）＝（３／４）（１－（(1/3)^n）ー（３／２）［n((1/3)^(n+1))］

ｎ→∞のとき、
（(1/3)^n）→０
［n((1/3)^(n+1))］→０
Ｓ（ｎ）→（３／４）
ーーー
＞＞b(n＋1)=b(n)＋1・・・。
＞＞【3＾(n＋１)】a(n＋1)はb(n＋1)・・・。
＞＞b(1)=3*((1/3)=1・・・。
ＹＥＳ
＞＞b(n)=1＋(n-1)*1=n・・・。
＞＞a(n)=【n/(3＾n)】・・・。
＞＞S(n)-(1/3)*S(n)・・・。
＞＞↑を計算すると・・・。
＞＞（【(1/3)*{1-(1/3)＾n}】/【1-(1/3)】）・・・。
＞＞↑を計算すると(1/2)*【1-(1/3)＾n】・・・。
＞＞Ｓ(n)=(3/4)・・・。
＞＞↑の式は・・・。
上記の通りです。

お礼

b(n＋1)=b(n)＋1
から
b(n)=b(n＋1)-1
b(n)=【3＾(n＋1)】a(n＋1）－１
　n=1を代入して
b(1)=(3＾2)＊a(2) -1になってしまいます。

それから、問題は【3＾(n-1)】a(n＋1)=【3＾n】a(n)＋1でした
間違いなんですね。
ありがとうございます。

補足

（２）の　b(1)=3^1・a(1)=3・(1/3)=1について教えてください。

回答No.2

takatoru29

Sは収束しないです。
なぜなら、a(n) → +∞

Sが収束するためには、
a(n) →0 が必要です。
つまり、 Sが収束するとわかっていれば、
以下のようにやれば、すぐSの極限値が求まります。

　与えられた漸化式、
(3＾(n-1))a(n＋1)=(3＾n)a(n)＋1　の両辺を 3^(n-1)で割り、
　整理すると、

a(n+1)－3a(n) = 1/3^(n-1)

n=1 から k まで 順次代入していってみると、

a(2)－3a(1) = 1/3^0
a(3)－3a(2) = 1/3^1
a(4)－3a(3) = 1/3^2
a(5)－3a(4) = 1/3^3
a(6)－3a(5) = 1/3^4
・・・
a(k-1)－3a(k-2) = 1/3^(k-3)
a(k)－3a(k-1) = 1/3^(k-2)

これら全てを辺々足すと、
(a(k)－3a(1))－2(a(2)+a(3)+a(4)+・・・a(k-2)+a(k-1))
＝ （1/3^0＋1/3^1＋1/3^2＋・・・＋1/3^(k-2))

∴ a(k)－1－2(S－a(1)) =
＝ （1/3^0＋1/3^1＋1/3^2＋・・・＋1/3^(k-2))

k→+∞　とすれば、
Sの極限値を Tとして、

左辺は (0－1)－2(T－a(1)) = 3/2
∴ T = -11/12

回答No.1

takatoru29

(3＾(n-1))a(n＋1)=(3＾n)a(n)＋1 　・・・(1)

c(n)= (3＾(n-2))a(n) とおくと、 ・・・(4)
c(1)= (3＾(-1))a(1) = 1/9

9c(n)= (3＾n)a(n) 　であり、

c(n+1)= (3＾(n-1))a(n+1) 　であるから、

(1)の漸化式は
c(n+1)= 9c(n)＋1 　と変形できる。

以下、これを解くことにする。

特性方程式 α = 9α+1 を解くと、
α = -1/8

よって、次のように変形できることがわかる。
c(n+1)－(-1/8) = 9(c(n)－(-1/8))
⇔ c(n+1)+ 1/8 = 9(c(n)+ 1/8)　　・・・(2)

d(n) = c(n)+ 1/8 とおくと、 ・・・(3)
d(1) = c(1)+ 1/8 = 17/72　で、
d(n+1) = c(n+1)+ 1/8 であるから、

(2)の漸化式は、
d(n+1)= 9d(n) と変形できる。

これは簡単に解ける。
n=1, 2, 3, ... と代入していけばすぐわかる。

d(2)= 9d(1)
d(3)= 9d(2) = 9・(9d(1))= (9^2)d(1)
d(4)= 9d(3) = 9・((9^2)d(1))= (9^3)d(1)
d(5)= 9d(4) = 9・((9^3)d(1))= (9^4)d(1)
・・・
d(n)= (9^(n-1))d(1)

∴ c(n)= (9^(n-1))d(1)－(1/8) ((3)から）
∴ a(n) = ～　　　　　　　　　　（(4)から）

　これが a(n) を求める方法です。

　ちなみにS(n)の極限値だけほしいなら、
　a(n)を求める必要はありません。

お礼

どうもありがとうございました。