重積分の間違いの訂正

質問

（１）ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１、ｚ＞０、ｚ＝√３/２で囲まれる体積
これを重積分で解くつもりで
z=√(1-x^2-y) またx^2+y^2＋（0）＾2=1 x^2+y^2+(√３/２)^2=1 <=> x^2+y^2=1/4
よってD＝｛1/4<=x^2+y^2<=1｝
と考えたのですがおそらく積分範囲の考え方が間違ってるのだと思います。
どなたか訂正お願いします。
（２）球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)のうちでx0<=x<=x0+h(-a<=x0<x0+h<=a)の部分の面積
　z=√(a^2=x^2-y^2)　　　D={x0<=x<=x0+h　　　0<=y<=√(a^2-x^2)｝
こちらも積分範囲が間違っているのだと思います。どう考えればいいのか教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

重積分を使わなくても回転体の体積公式を使って体積を求めた方が簡単です。しかし重積分で求めることが指定されているなら以下のように重積分で計算するしかないでしょう。

(1)
この問題は半径1の上半分の半球の体積V1からz≧√3/2の部分の体積V2を引けば、比較的簡単に求める体積Vか求まります。
　V=V1-V2
V1=(4/3)π*(1^3)/2=2π/3
　V2=∬[D} √(1-x^2-y^2)dxdy,D={(x,y)|x^2+y^2≦1/4}
　　=4∬[D1]√(1-x^2-y^2)dxdy,D1={(x,y)|x^2+y^2≦1/4,x≧0,y≧0}
　x=rcosθ,y=rsinθで変数変換すれば
　　=4∬[D2] √(1-r^2) rdrdθ,D2={(r,θ)|0≦r≦1/2,0≦θ≦π/2}
　　=4∫[0,π/2] dθ∫[0,1/2] r(1-r^2)^(1/2) dr
あとは自力でどうぞ！答えはV=(√3)π/4となればOK。

別解法
　Vを2つの領域に分割してそれぞれの体積V1,V2を加えて求めます。
　V=V1+V2
　V1=(半径1/2,高さ√3/2の円柱の体積)
　　=π{(1/2)^2}*√3/2=(√3)π/8
　V2=∬[D} √(1-x^2-y^2) dxdy, D={(x,y)|1/4≦x^2+y^2≦}
で計算すれば良いです。

(2)
これば回転体の体積公式の方がずっと簡単です。
重積分で計算するなら
求める体積
　V=2∬[D]√(a^2-x^2-y^2)dxdy,
　D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2,x0≦x≦x0+h},(-a≦x0,h≧0,x0+h≦a)
={(x,y)|x^2+y^2≦a^2,x0≦x≦x0+h,0≦y≦√(a^2-x^2)}
逐次積分に直すと
　V=2∫[x0,x0+h] dx∫[0,√(a^2-x^2)] √(a^2-x^2-y^2)dy
自力で計算して見てください。積分結果が
　V=(πh/12)(3a^2 -h^2 -3hx0-3x0^2)
となればOK.

お礼

ありがとうございました！