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重積分の問題
(1)∫∫∫_v dxdydz (V={(x,y,z)| x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1}) (2)sin(x+y+z)の三重積分で領域Vは、V={(x,y,z)|0≦x,y,z≦π} (3)平面z=0上に面積確定の有開閉領域Dがあり、その面積をSとする。点Q=(a,b,h)(h>0)をとり、PをDの点として動かすとき、線分QP上の点全体の集合を、Dを底面、Qを頂点とする錐体と呼ぶ。この錐体の体積はSh/3であることを示せ。 上の三問なんですが、(1)は、xを固定して、領域Dとして、D={(y、z)|y^2/b^2+z^2/c^2≦1-x^2/a^2}として解こうとするのですがこれからどうすればわかりません。 (2)は答えは8なのですが、自分は-8になります。 (3)はさっぱりわかりません。 どうかよろしくお願いします。
- ikecchi
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この問題で変数変換が使えないとはつらいですね。 まだ講義がそこまで進んでいないということですか? (1)は ikecchi さんのアイデアでいけるようですよ。楕円の面積は使いますが。 y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1 - x^2/a^2 より、 y^2/(b^2*(1 - x^2/a^2)) + z^2/(c^2*(1- x^2/a^2)) ≦ 1 この楕円の面積は、 π b c (1 - x^2/a^2) で表せます。これが閉領域D(x)の面積です。 だから、問題の積分は、これを x = -a から x = a まで積分することに帰着します。 (3)は、相似の考えでも使うのでしょうか。すると、z = u で錐体を切った断面積は、 S (1 - u/h)^2 で表せます。(←厳密な議論をすると、ここを突っ込まれると弱いかも。) だから、問題の積分は、これを u = 0 から u = h まで積分することに帰着します。 これでどうでしょう? 意味不明のところがあったら、質問してください。
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- Nandayer
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(1) 楕円 x^2/a^2 + y^2/b^2 ≦ 1 の面積は、 b Sqrt (1 - x^2/a^2) ← Sqrt は正の平方根です を x = 0 から x = 1 まで積分したものの4倍です。 x = a sin t とおいて変数変換(1次元だから OK ですよね)しましょう。 でも楕円の面積の公式を使わないとすると、もとの3次元の積分は1次元ずつ累次積分するように書き直したほうがよいような・・・。 (2) 私もやってみたら -8 になってしまいました! ANo.#1 では、いいかげんなことを言ってすみませんでした。 kony0 さんの御指摘を読んで、<なるほど>です。 (3) 相似の議論では、私が勘違いしていました。 ANo.#2 の()内は書くんじゃなかった。取り消します。
お礼
ありがとうございました!やはり問題集の解答なんてあてにしたらだめですね☆またがんばります!
- kony0
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楕円形 x^2/○^2 + y^2/△^2 = 1 の面積は π○△ は公式でもいいような。 もちろんこれは1次変換や変数変換から導けます。 (半径1の円を横に○倍、縦に△倍しているので、面積もπの○×△倍、というのでは乱暴ですか?) (3)については、「Qを相似の中心とする相似の位置にある」で大丈夫かと思います。(相似の位置こそが「相似」の定義だったと思うので、これについて議論をどうのこうのいう必要はなく、これでじゅうぶん厳密な議論だと考えます) 相似比が、底面:断面=h:(h-u)なのは大丈夫ですよね?! ということで、断面の面積は S*((h-u)/h)^2 ちなみに(2)は私も-8になってしまいました・・・ ∫∫∫sin(x+y+z)dxdydz=∫∫[-cos(x+y+z)](x=0,π)dydz =∫∫cos(y+z)-cos(π+y+z)dydz=∫∫2cos(y+z)dydz =2∫[sin(y+z)](y=0,π)dz=2∫sin(π+z)-sin(z)dz =2∫(-2)sin(z)dz=4[cos(z)](z=0,π)=-8 感覚的には、x+y+zが[π,2π]の範囲にあるのが全体の2/3の区間になると思いますので、なんとなく負っぽい気はしなくはないんですけどね・・・
補足
返事が遅くなりましてどうもすみません。大変丁寧な解説ありがとうございます! ところで、 >感覚的には、x+y+zが[π,2π]の範囲にあるのが全体の2/3の区間になると思います>ので、なんとなく負っぽい気はしなくはないんですけどね・・・ の部分の意味がわからないんですが。よかったら追加で解説していただければ幸いです。
- Nandayer
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(1) 楕円体 V を単位球に写すような変換を考えます。 重積分の変数変換公式(Jacobian がでてくる)を使いましょう。 単位球の体積を使うと、ほとんど計算は不要なはずです。 (2) 憶測に過ぎませんが、どこかで上端と下端を取り違えたものと思われます。 (3) 錐体を、同じ底面 D と同じ高さの柱体(?:例えば円柱)に移すような変換を考え、重積分の変数変換公式を使います。錐体の頂点と柱体の上面は1対1に対応しませんが、1点なので無視します。 すると、2次元ー1次元に分解する累次積分が使えるようになります。 以上、確かめていないので思いつきに過ぎませんが、御参考になれば幸いです。
補足
ありがとうございます。ですが、変換公式なしで解かないといけません。なにかアドバイスがあれば教えてください。
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