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重積分の計算

∫∬D e^(x+y+z)dxdydz ここでDは0≦x≦1、0≦y≦x、0≦z≦x+2yで与えられている。 どのように解けばよいでしょうか？ ご指南お願いいたします。

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  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.1

紛らわしい変数変換もないので順に積分を行う。 ∫∫∫[D] e^(x+y+z)dxdydz {D;0≦x≦1、0≦y≦x、0≦z≦x+2y} = ∫[0,1]dx∫[0,x]dy・e^(x+y)∫[0,x+2y]{e^z}dz = ∫[0,1]dx∫[0,x]{e^(2x+3y)－e^(x+y)}dy = ∫[0,1]{1/3・e^5x－4/3・e^(2x) + e^x}dx = 1/15・e^5－2/3・e^2 + e－2/5 (計算間違いしてるかも知れないので検算してみて・・・！)

exymezxy09
質問者

お礼

計算してみたところ、答え一致しました。 eをうまく分離して積分するのがポイントだったのですね。 勉強になりました。 どうもありがとうございました！

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