- 締切済み
重積分・積分について
重積分・積分の問題です。 1 ∫[0,2π]cosmxcosnxdx (m,n∈Z) まず和積公式を使って cosmxcosnx=1/2{cos(m+n)x+cos(m-n)x}とし、 0→2πで積分して 1/2[1/m+n*sin(m+n)x+1/m-n*sin(m-n)x][0→2π] ここまでは解けるのですがここから解くことが出来ませんでした。 積分区間が0のときはsin0=0ですので考えないとしたんですが、 2πの時にするであろう場合分けが思いつきません。 ここから回答をお願い出来ないでしょうか。 また自分の回答に自信があまり無いので 以下の問題の答えを教えていただけないでしょうか。 2 d/dx(arcsinx)^2 =2arcsinx/(√1-x^2) 3 ∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1}) 被積分関数は1/{√1-(x^2+y^2+z^2)}より x^2+y^2+z^2=1上の点が特異点の広義積分である。 ここでDa:x^2+y^2+z^2≦a^2とおく。ただしa>0とする。 極座標(r,θ,ψ)を定める。 x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ とおくと Daは Ea:0≦r≦a, 0≦θ≦π,0≦ψ≦2πにうつる。 またヤコビアンはr^2sinθである。 計算は省略します。 積分すると4πa^5/5となり、 lim [a→1-0]として 答えは4π/5 でしょうか。 文章読みにくくてごめんなさい。 回答お願いします
- taaaaakunn
- お礼率6% (5/77)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数0
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
みんなの回答
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
1.m≠n , m≠-n のとき 0 , m=n, m=-n のときπ 2.(arcsin x) ' =1/√(1-x^2) は公式。 {(arcsin x)^2} ' =2(arcsin x )・{1/√(1-x^2) } と合成関数の微分。 3.3次元極座標に変換すると ∫∫∫{r^2/√(1-r^2) }sinθdrdθdψ ∫{r^2/√(1-r^2) }dr の積分は r/√(1-r^2) の原始関数が-√(1-r^2) であることより -r√(1-r^2)]+∫√(1-r^2) dr と部分積分。積分区間0→1でやってしまえばπ/4 つぎに (π/4)sinθをθについて0→πで積分して π/2 さらにπ/2 をψについて0→2πで積分して π^2 厳密には∫{r^2/√(1-r^2) }dr の積分は0→aでやってa→1の極限をとれということのようです。 √(1-r^2) の0→aでの積分はr=sinωとおきかえると r 0→a に対して ω 0→arcsin a (=αとおく) で,計算して (1/2){α+(1/2)sin2α}=(1/2){α+sinαcosα}=(1/2){α+acosα}→π/4 (a→1) (a→1 のときα→π/2 より)
- FT56F001
- ベストアンサー率59% (355/599)
>3 I=∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1}) 半径1の球内の体積積分なので, I=∫[0から1]1/sqrt{1-r^2}4πr^2dr と変形できて,(π^2)になりそうだけど??
- FT56F001
- ベストアンサー率59% (355/599)
1だけ m,nが整数ですから,x=2πの時のsin{(m+n)2π}=0,sin{(m-n)2π}=0です。 ただし,m=nのときは,∫cos(m-n)xdx={sin(m-n)x}/(m-n)と積分できません(分母が0になってしまう)。 m+n=0のときも同様です。この二つを特別扱いします。
関連するQ&A
- 重積分の問題なのですが・・・。
重積分の問題なのですが・・・。 ∬(y-6)(x^2+y^2)^(1/2)dxdy 積分区間はx^2+y^2<=4です。 x=rcosθ, y=rsinθとおいて、積分区間の条件より 0<=r<=2, 0<=θ<=2πとおける さらにこのときdxdy=rdrdθとなる 与式=∫[o<-2π]∫[0<-2]{rsinθ-6)(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)^(1/2)}rdrdθ =∬{(rsinθ-6)r^2}drdθ =∫[1/4sinθr^4-2r^3](0<-2)dθ =∫(4sinθ-16)dθ =[-4cosθ-16θ](0<-2π) =(-4-32π)-(-4) =-32π とマイナスになってしまいました、どこが間違えているのでしょうか? すみませんがよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3重積分について
∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 領域D:{x^2 + y^2 + z^2≦a^2, a>0}という問題で、解が(3πa^4)/2になるはずなのですが、極座標に変換する段階でいまいち分かりません。自分なりにやると、 x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ (0≦r≦a, 0≦θ≦π, 0≦φ≦2π)として、ヤコビアンがr^2 sinθになり、 ∫(D) |x| + |y| + |z| (dx)^3 =∫[0→2π]dφ∫[0→π]dθ∫[0→a]dr (r^2 sinθ)(rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ) このようになるのですが、自分がこれを解いていくと違った解になり、正解にたどり着きません。この変換が間違っているのでしょうか?単に途中の計算が間違っているのでしょうか? よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。
重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。 球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ(a>0) 自分の解法は z(>0)について解いてz=√(a^2-x^2-y^2),積分領域D:x^2+y^2<=axの上にある曲面積を2倍して Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より 求める曲面積s=2∬D √(1+Zx^2+Zy^2)dxdy ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとJ=r,積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2 S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ =2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、解答は D:x^2+y^2<=a^2,y>=0の上にある曲面積を4倍して求めていて、 S=4∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy ここでx=rcosθ,y=rsinθと置いて、M:0<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2 S=4∫(0→π/2)∫(0→acosθ)r/√(a^2-r^2)drdθ =4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1) となって答えが違ってしまうのですが、何故だかわかる方がいたら助けてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分教えてください
次の問題説いてください (1) 空間上の(x,y,z)を極座標(r,θ,φ) x=rsinθcosφ , y=sinθsinφ , z=rcosθ に変換するときヤコビアンを求めよ (2) 広義積分 I(a)=∫∫∫(exp-(x^2+y^2+z^2))/((x^2+y^2+z^2)^a) dxdydz 積分範囲はすべて-∞~+∞ についてa=1/2の時のI(1/2)を求めよ (3) I(a)が収束するaの範囲を求めよ (4) 広義積分 J(a,b)=∫∫∫1/((x^2+y^2+z^2)^a)*(|log(x^2+y^2+z^2)|^b) dxdydz が収束するようなa,bの満たすべき条件を求めよ 積分範囲B B={(x,y,z);x^2+y^2+z^2<1/4} (1)のヤコビアンは 行列式 ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) を解いて(r^2)sinθ というところまではとけるのですがその後がわかりません よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分
広義積分の問題なのですが,変数変換をすると,積分範囲がどうしても0→0になってしまいます…。 問題は D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} lim(ε→0) ∬{(x^2-y^2)/(x^4+y^4})dxdy という問題なのですが,これを x=rcosθ,y=rsinθ,ヤコビアン=r D'={(r,θ)∈R^2|ε≦r≦1,0≦θ≦2π} ∫(1/r)dr∫{(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/((cos^2θ+sin^2θ)^2-2cos^2θsin^2θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/(1-(sin2θ)^2/2)}dθ =∫(1/r)dr∫{2cos2θ/(2-(sin2θ)^2)}dθ ここでt=sin2θと変数変換しようとしたのですが, そうすると積分範囲が0→0になってしまします。。。 どこか間違っているのでしょうか?? どなたか解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標による重積分の範囲の取りかた
∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy D:(x^2 + y^2 <= π^2) を極座標でに変換して求めよ。 という問題で、 x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、 rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。 x^2+y^2 = (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2 = r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2} = r^2< = π^2 とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか? rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標を用いた重積分
∬Ddxdy/(x^2+y^2)^m D:a^2≦x^2+y^2≦4a^2 という問題なのですが、 m=1のとき答えが2πlog2になるのですが、 x=rcosθ y=rsinθ とおくとm=1のとき分母は1/r^2になると思うので、 積分してもlogはでてこないとおもうんです。 どこが違うのか自分でもわからなく、 どなたか解き方を教えてくれないでしょうか。 どうぞよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三重積分の問題です。
空間の極座標変換を用いて、次の積分の値を計算しなさい。 ∬∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz、範囲がx^2+y^2+z^2≦a^2 です。 極座標変換で(r、θ、φ)={0≦r≦a 0≦θ≦2π 0≦φ≦2π}と範囲をおき、 x=r sinθ cosφ y=r sinθ sinφ z=r cosθ と変換しました。 ここから積分の仕方が少しわかりませんでした。 一生懸命考えてみたのですが、積分で詰まりました。 もしわかる人がいましたら教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 変数変換したときの積分範囲について
∫∫∫ log(x^2+y^2+z^2) dxdydz {(x,y,z) | x^2+y^2+z^2≦t^2} この積分の値を求める問題があります。 変数変換で、x=rsinθcosψ、y=rsinθsinψ、z=rcosθ として、解くと思うのですが、 この場合の、r、θ、ψの範囲がどうなるのかがよくわかりません。 参考書でほぼ同じような問題を見つけたら、その問題は 0≦r≦t 0≦θ≦π 0≦ψ≦2π という範囲で積分していたのですが、この問題の場合でもこの範囲で良いんでしょうか?おそらく半径tの円を考えると思うのですが 考え方がよくわかりません。 参考書にも詳しく書かれてなかったので質問させてもらいました。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数