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円周について

TCMの回答

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回答No.6

 #2で回答したTCMでございます。ホイールの下端接点がホイール上の点と対応しながらも実体のないものという観点から、#2の写像という回答を提示したのですが、現実から乖離しすぎてわかりにくいので、今回は物理的な回答をいたします。  まず、タイヤの半径をR、ホイールの半径をrとします。タイヤがほんの少し(微小角dθ)だけ回転すると、このタイヤはRdθだけ移動します。Rdθは円弧の長さです。ここで気をつけないといけないのは、タイヤの中心も、ホイールの下端接点も、タイヤの下端接点もみんなRdθだけ移動するということです。それは、なぜか? 逆説的ですが、中心や接点はそのような点だからです。半径と円周を結ぶ直線はその接線と垂直ですからね。  そうすると、微小回転後にホイールの下端接点にやってきた点は、この回転によってrdθだけ移動してきたのですが、これではRdθにちょっと足りない。そう、その足りないRdθ-rdθ=(R-r)dθの分だけ横滑りして、今下端接点になっているのです。というわけで、半径上の任意の点の横滑り距離sは   s=∫(R-r)dθ   (積分範囲は0からφとする)    =(R-r)φ となります。この式から、タイヤの中心(r=0)はRφだけ横滑りし、タイヤの下端接点(r=R)は横滑りなしということもわかります。いかがでしょうか?

chamma
質問者

お礼

数学が苦手な私には難解でしたが、これで一応、大きい円の中心点も小さい点の中心点も同じように移動しているのに、(私にはそう思えた!?)小さい円の中心点だけ横滑りしているかの証明になっていることが何となくわかりました。感覚的にはたぶん小さい円は横滑りしているのだろうと考えていましたが…。長い間期になっていた私の頭のもやもやは取りあえず消えました。ありがとうございました。

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