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接線と円周上の点から円の方程式を求める
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- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えっと.... 多分, #7 の方針がベストです. あ, 「2直線から等距離」を使わないと得られる式が絶望的に難しくなるかも.
- masuda_takao
- ベストアンサー率44% (47/105)
No.3 さんの方針で、接線の処理に関する別解を一つ。 円の中心と各々の直線の距離は円の半径に等しいので、点と直線の距離の公式を使えば２次方程式の重解条件を使わなくても良いですね。
- komimasaH
- ベストアンサー率16% (179/1067)
中心が（A,B)にある半径ｒの円の方程式をまず書きます。 円周上のある点をその式に代入します。 円の方程式をｘで微分します。 ｄｙ／ｄｘに接線の傾きを代入します。２つ ｘ、ｙには接線の接点を代入します。これも２つ それで、３つの式ができますので、Ａ，Ｂ，ｒが 求まるのではないでしょうか。
お礼
このやり方は考えていませんでした。 ただ、今回の場合接点が分かっていないので、仮に接点を(x1,y1)、(x2,y2)のように置いてやってみることにします。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
#3 です. 最後のところに「あんまり使えないかなぁ」と書いたんですが, 直感には使えそうですね. つまり, 求めたい円の中心は「点と直線から等距離にある点」であって, その軌跡は放物線になります. 一方, 「2直線から等距離にある点」でもあり, その軌跡は 2直線がなす角の 2等分線となります. 結局求める円の中心は放物線と直線の交点となります. つまり, 2個の円が求まるはずです.
お礼
式だけでなく図形的に考えることも重要なんですね。 適当に定数を置いてグラフ化して考えてみます。
「円周上のある点」は接点とは限りません。なので回答１，２は誤りです。正解は回答３の通りです。
お礼
やはり不定数３つの連立方程式を解くという形になりますか…頑張ってみます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
多分, これができないってことは「円の接線」などが完全には理解できてないってことなんだよといいつつ, がんばって方程式を解いてみる方針: １．円の方程式を仮定する: 未知数は中心の座標と半径の 3個. ２．与えられた点を通るという条件を入れる: これで方程式が 1本できる. ３．与えられた直線と接するという条件を入れる: これで方程式が 2本できる. ４．合計 3本の方程式があって, 未知数が 3個だからがんばれば解けるはず. あ, 気付けば簡単だけど「接する」=「連立方程式が重解を持つ」ということで. ちなみにちょっと図形の知識があれば, 「2直線に接する円の中心は, その 2直線のなす角の 2等分線上 (2本あります) にある」ということがわかります. あんまり使えないかなぁ?
お礼
回答ありがとうございます。自分のメモを見直してみたら４の所で止まっていたので、どうも連立方程式が解ける解けないの問題のようです。これは頑張るしかないですね…
- ht1914
- ベストアンサー率44% (290/658)
＃１のご回答は実際に作図で円を求めるときに使うものです。 １行目は「接点で半径と接線は垂直になっている」ということです。 数学というと式で何でも出ると思っておられるのではないですか。一度作図してみられるといいと思います。 ２本の平行でない線を引きます。その上に適当な点を一つずつ取ります。その点を円周上の点、２本の直線が接線であるとして円を作図で求めてみて下さい。
お礼
「接点で半径と接線は垂直になっている」ということは分かるのですが…すみません、私の言葉が足りなくて、言いたいことがうまく伝わらなかったようです。 ある点というのは接線上の点でも接点でもなく、単なる円周上の点です。 貴重な時間を割いて頂いたのに申し訳ありません。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
そのある点を通って接線に垂直な直線は円の中心を通ります。 よって、その２本の接線に垂直な直線の交点が円の中心になります。 半径は簡単に求められるでしょう。
お礼
１行目の意味がよく分からなかったのですが、２本の接線それぞれの法線の交点が円の中心で、その中心からある点までの距離が半径ということでしょうか？ これなら求められそうです。早速やってみることにします。 素早い回答ありがとうございました。
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