数学の問題です 三角形の面積の求め方

質問

soipon0さん

数学の積分の問題です 放物線 y=x^2上にx座標がそれぞれα,β(α<0<β)である点P,Qをとる。
P,Qにおける接線の交点をRとするとき,次の問いに答えよ。

(1)点Rの座標を求めよ。
(2)△PQRの面積をＳ1とし,直線PQと放物線y=x^2で囲まれた図形の面積をS2とするとき,S1：S2を求めよ。

という問題なのですが(2)のS1を求める時に△PQRをｙ軸に平行な直線で2つの三角形にわけて考えるとあるのですがわかりません
PQの中点をM[(α+β)/2,(α^2+β^2)/2]としてｙ軸に平行な直線MRができます。
模範回答は
S1=1/2(β－α)•MRで出るのですが

(β－α)がどこから出てきてどういう役割なのかわかりません

わかりやすい解答お願いします

回答No.1

pasocom · ベストアンサー

「PQの中点をMとしてｙ軸に平行な直線MRができます。」
と言うところで間違えていると思います。
なぜなら、線分PQの中点（M）は必ずしも点Rと同じX座標になるとは限りません。
⊿PQRの面積を求めるに当たって、ヒント(?)にあるように「ｙ軸に平行な直線で2つの三角形にわけて考える」のなら、分け方は頂点RからY軸に平行な直線で分けることは明らかですね。
その直線が線分PQと交わる点をMとするだけのことです。
（繰り返しますが、この場合点MのX座標は点RのX座標と同じと言うだけでPQの中点X座標＝（α+β)/2、とは限りません。）
こうして⊿PQRを二分すると、その左側（⊿PRM）の面積は底辺をMRとし、高さ（仮にh1）ですからh1・MR/2　です。同じように右側（⊿QMR）はh2・MR/2　です。
したがって、両者を加えると
S1＝⊿PRM＋⊿QMR＝（h1＋h2）・MR/2
ここで（h1＋h2）という高さの和はすなわち（β-α）ですから
S1＝（β-α）・MR/2
となります。
（β-α）とは⊿PQRの底辺をMRとした場合の高さを出しているのです。

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます
解いてみてすぐにわかりました本当にありがとうございました