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tan(aX)/tan(a)＝？tanの割り算
stomachmanの回答
- stomachman
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H: 「π＞X＞0 かつπ＞aX＞0ならばＸ＜tan(aX)/tan(a)」 を証明したい、ってことでしょうか。 まずは大雑把にチェックしてみましょう。aがπ/2よりちょっと小さくて、 0<ε<<1を使って a = π/2-ε と書けるとき、 tan(π/2-ε) = cot(ε) はすんごく大きな値になる。 一方、|x|が小さいとき、 tan(x) ≒ x+(x^3)/3-(x^4)/45 - .... と近似できるので、0<X<<1について tan((π/2-ε)X) / X ≒ (π/2-ε)+(X^2)((π/2-ε)^3)/3-… これはだいたい (π/2-ε)ぐらいの値になる。だから、適当にεを選べば、大抵の0<X<1について tan((π/2 -ε)X)/X/cot(ε)＜1 となることが分かります。すなわち tan(aX) / tan(a) ＜ X となるa, Xが見つかったので、 H は偽ですね。
- noname#152422
- noname#152422
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補足
すいません、せっかく回答いただいたのに申し訳ありません。 条件をしっかりさせますと、 X＜tan(aX)/tan(a) X>1 a>0 aX<90 で再度お願いいただけませんでしょうか。