tan(aX)/tan(a)＝？tanの割り算

質問

tan(aX)/tan(a)を解いていきたいのです。
タンジェント同士の割り算で、これ以上形を変えられないものでしょうか？

Ｘ＜tan(aX)/tan(a)を証明したいです。

以上よろしくお願いいたします。

回答No.5

hrsmmhr · ベストアンサー

その条件で証明しているつもりなんですが…
追加条件をa>0,X>1,aX<π/2として
f(a)=tan(aX)-Xtan(a)と置く
f'(a)=X(1/cos＾2(aX)-1/cos＾2(a))=X(cos＾2(a)-cos＾2(aX))/(cos＾2(aX)cos＾2(a))
追加した条件から
0<a<aX<π/2
1>cos＾2(a)>cos＾2(aX)>0なので、この範囲でf'(a)>0
しかもf(0)=0より、この範囲でf(a)>0

tan(aX)/tan(a)=(tan(aX)-Xtan(a))/tan(a)+Xtan(a)/tan(a)=f(a)/tan(a)+X>X

補足

ありがとうございます、私の望むものです。

ですが
f'(a)=X(1/cos＾2(aX)-1/cos＾2(a))ではなく、
f'(a)=1/cos＾2(aX)-Ｘ/cos＾2(a)となると思うのですが、いかがでしょうか？
お教え願います。

大変お手数をおかけいたします。

回答No.6

hrsmmhr

tan(aX)の微分はtan(a)の微分と同じ形ではないですよね？
t=aXと変数変換するときdt/daをかけないといけません

d(tan(aX))/da=d(tan(aX))/d(aX)*d(aX)/da

ですから…

回答No.4

stomachman

H: 「π＞X＞0 かつπ＞aX＞0ならばＸ＜tan(aX)/tan(a)」
を証明したい、ってことでしょうか。

　まずは大雑把にチェックしてみましょう。aがπ/2よりちょっと小さくて、 0<ε<<1を使って
　　a = π/2-ε
と書けるとき、
　　tan(π/2-ε) = cot(ε)
はすんごく大きな値になる。
　一方、|x|が小さいとき、
　　tan(x) ≒ x+(x^3)/3-(x^4)/45 - ....
と近似できるので、0<X<<1について
　　tan((π/2-ε)X) / X ≒ (π/2-ε)+(X^2)((π/2-ε)^3)/3-…
これはだいたい (π/2-ε)ぐらいの値になる。だから、適当にεを選べば、大抵の0<X<1について
　　tan((π/2 -ε)X)/X/cot(ε)＜1
となることが分かります。すなわち
　　tan(aX) / tan(a) ＜ X
となるa, Xが見つかったので、 H は偽ですね。

補足

すいません、せっかく回答いただいたのに申し訳ありません。

条件をしっかりさせますと、

X＜tan(aX)/tan(a)

X>1
a>0
aX<90

で再度お願いいただけませんでしょうか。

回答No.3

hrsmmhr

勝手に条件をつけますが…
a>0でa=0の近辺だけの限定で、かつX>1ということにします
そしてaとXを入れ替え、Xはここではxに変更します（変数をxとしたほうが理解しやすそうなので）
すると証明すべきはa<tan(ax)/tanx(a>1,0<x∈Near(0))です

f(x)=tan(ax)-atanxとして
f'(x)=a/cos^2(ax)-a/cos^2x=a{cos^2x-cos^2(ax)}/{cos^2xcos^2(ax)}
=a{cosx-cos(ax)}{cosx+cos(ax)}/{cos^2xcos^2(ax)}
これはたとえば少なくとも0<ax<π/2では、cos関数が単調減少で、また正であるのでf'(x)>0
（ここでX>1が必要になります）
そしてx>0でtanx>0ですから
tan(ax)/tanx=(tan(ax)-atanx)/tanx+a=f(x)/tanx+a>a

補足

すいません、せっかく回答いただいたのに申し訳ありません。

条件をしっかりさせますと、

X＜tan(aX)/tan(a)

X>1
a>0
aX<90

で再度お願いいただけませんでしょうか。

回答No.2

noname#152422

X=π、a=1でも駄目ですね。

回答No.1

noname#152422

例えば、X=0のときその不等式は成り立ちません。

補足

失礼しました、Ｘ＞1が前提です。

以上よろしくお願いいたします。