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三角形ABCにおいて
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>先ほどの半径は、今度は内接円の半径と考えます。r=7ルート3/3 > >となっていますが内接円と外接円がなぜ等しいのでしょうか? 外接円と内接円が等しいのではなくて、△ABCの立場から見ると外接円と言うことになりますが、 正三角形の立場から見れば内接円になると言うことです。 同じ円の半径なんですが、正三角形にとっては、内接円の半径になると言うことです。 >先ほどの半径は、今度は正三角形の内接円の半径と考えます。 と表せば良かったですね。 また何かあったら、お願いします。
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- ferien
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AB=5 BC=7 CA=8の時次の値を求めよ。 △ABCの外接円に外接する正三角形の一辺の長さ。 どういう図かが想像できません。 教えてください。 正三角形の図は、円周上に基準になる点を1つとり、中心からその点まで結びます。 その基準から、中心角を3つに等分します(120度)。円周上にしるしを付けていきます。 (ここで時間をかけても仕方ないので、分度器を使いました。) 中心から、しるしまで線を引きます。半径が3つ描けていると思います。 正三角形の辺は、その円周上の3つの点における接線です。3箇所で半径に垂直になるように接線を引けば、正三角形が描けるはずです。 (図があった方が分かりやすいので、できれば描いてみて下さい。) 円の半径は、△ABCの外接円の半径ですが、正三角形の内接円の半径でもあるので、 正三角形の一辺の長さを求めるときは、内接円に関する性質を使います。 (1)△ABCの外接円とみて、その半径を求めます。 △ABCの面積を求めます。3辺の長さがわかっているので、ヘロンの公式を使います。 面積S=10ルート3 外接円の半径を求めます。3辺が分かっているので、3辺をa,b,cとして、 公式 S=abc/4R (Rは外接円の半径)を使います。 10ルート3=5・8・7/4R より、よって、R=7ルート3/3 (2)正三角形の1辺の長さを求めます。 1辺の長さをxとおきます。 先ほどの半径は、今度は内接円の半径と考えます。r=7ルート3/3 正三角形の面積を求めます。正三角形の性質から、1辺がxなら、高さは(ルート3/2)x 面積=x×(ルート3/2)x×(1/2)……(1) 別な方法で正三角形の面積を求めます。 今度は、1辺がx、高さがrの合同な3つの三角形が組み合わさったものとみて下さい。 面積=x×r×(1/2)×3=x×(7ルート3/3)×(1/2)×3 ……(2) (1)=(2)として、解きます。 答えは、x=7×2 でした。
補足
本当に本当にありがとうございます、図形書きました、外接円の半径を求めます。3辺が分かっているので、3辺をa,b,cとして、 公式 S=abc/4R (Rは外接円の半径)を使います。 10ルート3=5・8・7/4R より、よって、R=7ルート3/3 (2)正三角形の1辺の長さを求めます。 1辺の長さをxとおきます。 先ほどの半径は、今度は内接円の半径と考えます。r=7ルート3/3 となっていますが内接円と外接円がなぜ等しいのでしょうか?
- ferien
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No.2,No.3です。訂正です。 >△ABCの外接円に外接する正三角形の一辺の長さ。 について、正三角形も円に内接するのだと勘違いしていました。 No.2の以下の部分と、 >外接する正三角形の一辺の長さは、7cmです。何となく描けます。 > >それが正三角形であることも一応は示すこともできます。 >面積や外接円の半径が求められるので、直角三角形の辺の長さの比の関係から、角の大きさも求めるこ>とができるからです。 No.3の補足の部分は、削除でお願いします。 図で言えば、正三角形の中に円が収まる感じです。 もう少し考えてみます。
- banakona
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#4です。 また間違えた。外接円に外接するんですね。 円に外接する正三角形の一辺の長さは、その円に内接す正三角形の一辺の長さの2倍なので図的にあまり変らない? #3さんにもご迷惑をお掛けしました。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
大体、(a)のような感じになるとイメージする。 余弦定理を使うと、A,Cは綺麗な値にならないけど、Bはアノ角度になることが分かる。 コレを受けると(b)のような図にできる。
- ferien
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補足と訂正です。 反直線 →、半直線 です。 >外接する正三角形の一辺の長さは、7cmです。何となく描けます。 BC=7cmも関係があります。 外接円の中心を見つけるときに、BCの垂直二等分線を描けばいいです。 その垂直二等分線を円周上まで延長したときに、また交点ができますが、 その点からB,Cへ向かって線分を引くと、正三角形が描けます。
- ferien
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AB=5 BC=7 CA=8の時次の値を求めよ。 △ABCの外接円に外接する正三角形の一辺の長さ。 どういう図かが想像できません。 教えてください。 コンパスと定規を使えば描けます。(描いて見て下さい) BCを底辺と考えて、適当に反直線を引いて、コンパスで長さ7cmをとり、 左側をB,右側をCとします。 コンパスでAB=5cmの長さををとり、Bを中心とした円を描くつもりで途中まで描きます。 今度はAC=8cmをとり、Cを中心とした円を描くつもりで先ほどの描いたBの円との交点を見つけます。交点を見つければいいので、ほんの途中まで描いておけばいいです。その交点がAです。 そのAから、B,Cへの線分を引けばいいです。 外接円の中心は、△ABCから適当に2本の辺を選んで、それぞれの垂直二等分線を引くと、また交点ができます。それが外接円の中心です。 必ずずれるので、正確に描くのは難しいですが 一応頂点A,B,Cを通る円が描けます。 外接する正三角形の一辺の長さは、7cmです。何となく描けます。 それが正三角形であることも一応は示すこともできます。 面積や外接円の半径が求められるので、直角三角形の辺の長さの比の関係から、角の大きさも求めることができるからです。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6286)
>どういう図かが想像できません。 問題を細分化して考えてみてはどうでしょうか。例えば、 (1)△ABCに外接する円 (2)前項の円に外接する正三角形
補足
ということは〇(円)の中に△ABCがありさらに正三角形があるということですか?
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