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AB=7, AC=5, BC=8 である三角形ABCにおいて、角Aの二
AB=7, AC=5, BC=8 である三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCとの交点をD、辺BCの中点をE、三角形ADEの外接円との辺ABの交点をFとする。 このときの、BDとBFの長さの求め方と長さを教えてください。 できるだけ、わかりやすい解説をお願いします。
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A F B-----D-E-------C だいたいこんな図をイメージする。 (1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4. (2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD：DC = AC：AB = 5：7. これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB：DCであることを示す。 （その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること） そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ この比がAC：ABなので、BD：DC = AC：AB 最後に 7BD = 5DC. BD + DC = 8. これを解けばよい。 (3)「角Bを共有、角BDF = 角BAEより、BFEとBEAは相似」よりBF：BE = BD：BA. まず「角BDF = 角BAE」を示す。 これには、 「円に内接する四角形AFDEにおいて、角BAE + 角FDE = 180度」と 「角BDF + 角FDE = 180度」を用いればすぐわかる。 あとは、比を使って計算するだけです。 以上です。
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お礼
解説ありがとうございます。 BD=14/3 BF=8/3 ですね。