直線上を動く2点の中点の軌跡

質問

長さLの線分の両端が、それぞれx軸、y軸上を動くとき、その線分の中点Pの軌跡を求めよ。
答えは円x^2＋y^2＝L^2/４

という問題の応用編である

y=mx上の点Aとx軸上の点Bが距離Lを保ちながら動く時、点Aと点Bの中点の軌跡を求めよ。

という問題が分かりません。

友達から出された問題なので、ちゃんとした答えがあるのかどうかもわかりませんが、みなさんの知恵をお貸しください。

よろしくお願い致します。

回答No.1

DJ-Potato

点A(Xa,Ya)、点B(Xb,Yb)、点P(x,y)とすると
x = (Xa + Xb)/2
y = (Ya + Yb)/2
(Xa-Xb)^2 + (Ya-Yb)^2 = L^2

(1)
点AはY軸上、つまり(0,Ya)
点BはX軸上、つまり(Xb,0)
x = Xb/2
y = Ya/2
Xb^2 + Ya^2 = L^2
4x^2 + 4y^2 = L^2　・・・これが点Pの軌跡です

(2)
点Aはy = mx上、つまり(Xa,mXa)
点BはX軸上、つまり(Xb,0)
x = (Xa + Xb)/2
y = mXa/2

Xa + Xb = 2x
Xa = 2y/m
XaXb = 4xy/m - Xa^2
= 4xy/m - (2y/m)^2

(Xa - Xb)^2 + (mXa)^2 = L^2
Xa^2 - 2XaXb + Xb^2 + (mXa)^2 = L^2
Xa^2 + 2XaXb + Xb^2 + (mXa)^2 - 4XaXb = L^2
(Xa + Xb)^2 + (mXa)^2 - 4XaXb = L^2
4x^2 + 4y^2 - 16xy/m - 4y^2/m^2 = L^2
4x^2 - 16xy/m + 4(1-1/m^2)y^2 = L^2

という感じでしょうかね。