- ベストアンサー
ロピタルの定理の複素関数への適用について
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
Taylor展開すれば完了.
関連するQ&A
- 複素関数でのロピタルの定理
「f(z),g(z)は複素変数の複素関数で、z=αを含む領域で正則。また、f(z)=0(z→α),g(z)=0(z→α)であるとする。このとき、f'(z)/g'(z) (z→α) が存在するならばf(z)/g(z) (z→α) = f'(z)/g'(z) (z→α) が成り立つか」 という問題を調べているのですが、なかなか見つかりません。要は実数値関数のロピタルの定理を複素関数に拡張できるかという問題なんですけど、どう証明すればいいのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- ロピタルの定理
ロピタルの定理は大学入試ではタブーですが、さすがに証明をすれば使えると思います。学校の先生はかなり複雑だといっていましたが、割と簡単な証明が参考書に載っていました。(正式なものでないかもしれません。)それについて教えてください。 F(x)=f(x)-f(a)-k{g(x)-g(a)},,k={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}とおく。 F(a)=F(b)=0でロルの定理よりF'(c)=0(a<c<b)から得られる。 f(x)/g(x)={f(x)-f(a)}/{g(x)-f(a)}=f'(c)/g'(c) a<c<x,またはa<c<a x→aのときc→a lim(x→a)*f(x)/g(x)=lim(c→a)f'(c)/g'(c) QED とあります。~~とおく。の後がいまいちわかりません。教えてください。またこの証明でロピタルを証明したことになりますか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ロピタルの定理
大学1年生です。 手持ちの『理工系 微積分学』(荒井正治、学術図書出版)という教科書にロピタルの定理は次のようなものとあります。 lim(a,b)はlim_(a→b) "!="は"≠" "inf"は無限大 "+-"は+と-の複合 を表すとします。 1. (a,b]で定義された微分可能な関数 f(x),g(x) が次の仮定を満たすとする。 (i) g'(x)!=0 (ii) lim(x,a+0)f(x)=lim(x,a+0)g(x)=0 または (ii)' lim(x,a+0)f(x)=lim(x,a+0)g(x)=inf (iii) 次式の右辺の極限が存在するかまたは+-infに発散し、次の等式が成り立つ このとき、次式の左辺の極限が存在するかまたは+-infに発散し、次の等式が成り立つ。 lim(x,a+0)f(x)/g(x)=lim(x,a+0)f'(x)/g'(x) 2. (1.で区間が(a,inf)かつlim(x,inf)の場合) (ii)の場合の証明で f(a)=g(a)=0 と定義することにより fとgが[a,b]でも連続になるためコーシーの平均値の定理を満たすようになり…としていますが、 f(a)=g(a)=0 のような定義をしても一般的なのでしょうか。私にはそのようにならない関数を見つけられないのですが、本当に存在しないのでしょうか。 また、存在するとすれば、そのような関数の場合はどのように証明するのでしょうか。 質問が多いですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 1)逆関数 2)ロピタルの定理
1)逆関数に関して ある関数F(x)が逆関数を持つことを証明する場合、何を証明すれば「逆関数をもつ」ということの証明になるのですか? 2)ロピタルの定理に関して どこまで拡張ができるのでしょうか?というよりも、二回、三回、四回、と微分していっても、定理として使えるのでしょうか?(テキストでは一回の微分についてしか書いておらず、問題を解く上で少し心配になったもので…。) つまらない質問で申し訳ありません。 一つずつで結構ですので、どなたかご教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ロピタルの定理の証明について(f→∞、g→∞の場合)
皆様、こんにちは。 ロピタルの定理の証明を教えて頂きたいのですが。 参考書には x→aの時、f(x)→0、g(x)→0、かつg'(x)≠0の時 lim[x→a]f/g=lim[x→a]f'/g' の証明は載っていたのですが、 x→a(又は∞)の時、f(x)→∞、g(x)→∞、かつg'(x)≠0の時 lim[x→∞]f/g=lim[x→∞]f'/g' についての証明が省略されていました。 この証明のやり方を教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ロピタルの定理の証明について(f→∞、g→∞の場合)
ロピタルの定理の証明で分からない所があります。 よろしくお願いします。 http://www.cec.yamanashi.ac.jp/~sato/lecture/lhospital/lhospital.html リンク先のロピタルの定理の証明の (ⅱ)f(x)→±∞、g(x)→±∞、かつg'(x)≠0の時 の証明で このページでは α=lim[x→a]f/gが0の時とそうでない時で場合分けをしていますが、 私はαが±∞の時も場合分けする必要があると思うのですが、 どうでしょうか? (なぜなら lim[x→a]x/(x-a)=lim[x→a]2x/(x-a)^2 などでは両辺を1/(x-a)で割ることができないので。) 自分でもαが±∞の時にどうすればいいか考えたのですが、 分かりませんでした。 どなたか教えてください。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 【ロピタルの定理を用いた関数の極限について】
【ロピタルの定理を用いた関数の極限について】 次の問題でロピタルの定理をどのように用いたらいいのか分かりません ○次の関数のf'(0)を求めよ (1)f(x)=x^2log|x| (x≠0) f(x)=0 (x= 0) (2)f(x)=exp(-1/x^2) (x≠0) f(x)=0 (x= 0) 回答よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- ロピタルの定理とは…
ロピタルの定理は (i) a∈I,∀x∈I\{a},g'(x)≠0 (ii)lim(x→a,f(x))=lim(x→a,g(x))=0 または lim(x→a,f(x))=lim(x→a,g(x))=∞ (iii)lim(x→a,f'(x)/g'(x))が収束 となるような開区間Iがとれる時、 lim(x→a,f(x)/g(x))=lim(x→a,f'(x)/g'(x)) と言ってもいいのでしょうか? それと x→∞でのバージョンは (i) ∀x∈(a,∞),g'(x)≠0 (ii)lim(x→∞,f(x))=lim(x→∞,g(x))=0 または lim(x→∞,f(x))=lim(x→∞,g(x))=∞ (iii)lim(x→∞,f'(x)/g'(x))が収束 となるような実数aがとれる時、 lim(x→∞,f(x)/g(x))=lim(x→a,f'(x)/g'(x)) で正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。