ロピタルの定理

質問

ロピタルの定理は大学入試ではタブーですが、さすがに証明をすれば使えると思います。学校の先生はかなり複雑だといっていましたが、割と簡単な証明が参考書に載っていました。(正式なものでないかもしれません。)それについて教えてください。

F(x)=f(x)-f(a)-k{g(x)-g(a)},,k={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}とおく。
F(a)=F(b)=0でロルの定理よりF'(c)=0(a<c<b)から得られる。

f(x)/g(x)={f(x)-f(a)}/{g(x)-f(a)}=f'(c)/g'(c)
a<c<x,またはa<c<a

x→aのときc→a
lim(x→a)*f(x)/g(x)=lim(c→a)f'(c)/g'(c)　　　QED

とあります。～～とおく。の後がいまいちわかりません。教えてください。またこの証明でロピタルを証明したことになりますか。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

ロピタルの定理の証明が「複雑」というのは
そのバリエーションの多さにあるんです．
「難しい」ではなく「複雑」という表現をしてるというのは
そのあたりの反映かもしれませんね．

なお，その証明そのものは問題ないです．
立派にロピタルの定理の一つのバージョンを証明しています．

で。。。まず「ロルの定理」をご承知ですか？

関数Fが区間[a,b]で連続，区間(a,b)で微分可能であり，
さらにF(a)=F(b)=0であるならば，a<c<bとなるcで
F'(c)=0となるものが存在する

というのがロルの定理です．
当たり前といえば当たり前なのはわかりますか？
この定理から

f(x)/g(x)={f(x)-f(a)}/{g(x)-g(a)}=f'(c)/g'(c)
＃一箇所誤植を直しました．

がでてくるのはOKでしょうか？
＃この式は「コーシーの平均値の定理」といいます
＃普通の平均値の定理は「ラグランジュの平均値の定理」といいます．
＃コーシーの平均値の定理で g(x)=x とすればラグランジュがでてきます

こうなればロピタルは自明です．
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ここまで，頑張るならもうちょっと背伸びして
時間が許せば「Taylor展開」まで調べてみると，
展望が開けますよ．
ロピタルも含めて，いろいろなものが
すっきり見えるようになります．
受験テクニックとしてはロピタル同様，
禁じ手の領域ですが，いろいろな仕組みが見えます．

お礼

テイラーの展開も聞いたことはあります。微積のやるべきことが終わった手を出そうと思います。余裕があればですが。

あの複雑な公式(規則性はありますが)を覚える必要はあるのでしょうか。覚えた上でいろいろな仕組みが見えて来るのでしょうか。