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数学 三角関数 問題
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第３象限の角θについてｃｏｓθ＝ー３／５のとき、ｓｉｎθ、ｔａｎθを求めよ。 ｓｉｎ＾２θ＋ｃｏｓ＾２θ＝１ ｓｉｎ＾２θ＝１＋３／５として計算したのですが、 教科書を見ると１ー３／５として計算しています。 元々、左辺にあったー３／５を右辺に移したら３／５になるんではないんでしょうか？
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三角関数の問題を解いているのですが、途中からわかりません。 ⊿ＡＢＣは、３辺の長さがＡＢ＝sinθ、ＢＣ＝cos２θ、ＣＡ＝cosθ、 ∠ＢＡＣ＝π/３の三角形である。ただし、０＜θ＜π/４である。 余弦定理を用いてθの値を求めなさい。 ＢＣ＾２＝ＡＢ＾２＋ＣＡ＾２－２ＡＢ×ＣＡcosＡ に代入していく。 cos^2２θ＝sin^2θ＋cos^2θ－２・sinθ・cosθ・(1/2) sin^2θ＋cos^2θ＝１より、 cos^2２θ＝１－sinθ・cosθ sin^2２θ＋cos^2２θ＝１より、 １－sin^2２θ＝１－(1/2)sin２θ←ここがわかりません。 sin^2２θ＋cos^2２θ＝１ を使って左辺はわかったのですが、右辺がなぜこうなったのか全くわかりません。 計算の過程をお願いします。
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皆様のお知恵を拝借したいです。 三角形ABCがある時、 sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C = 2 がどんな三角形か考える、という問題があります。 (1)パッと見て、このままではイメージが掴めないので、2乗は避けたい、という意識を持ちました。 (2)最終的には A、B、Cに関する三角比の積 = ±1 、 あるいは A、B、Cに関する三角比の積 =0 になってくれればいいなぁ、という感じのイメージで計算を始めました。 最終的にはcosA・cosB・cosC=0となり、直角三角形が条件を満足することは分かるのですが、 この式に導くための演算に合理性が感じられません。 まず、(1)の方針で整理すると、cos2A+cos2B+cos2C=-1 という形で整理できます。(これはこれでとても綺麗な形です。)しかし、これでは左辺が和の形式なので、積に直したいというのが考えるところです。 ここで手詰まりになりました。積の形に組み合わせようとすると、右辺がうまくいきません。 (3)最終的に、2角の倍角の余弦を左辺に、1角の正弦の二乗を右辺に持って行くと、 例えば、 cos2A+cos2B = 2(sin^2 c -1 ) となり、 2(-cosC)・cos(A-B) = -2(cosC・cos(A+B)) 右辺を左辺に移行して和積の形で変形することで cosA・cosB・cosC=0とまとめることができました。 (3)はどうやって思いつくのでしょうか?(私はがむしゃらに色々試した結果、偶然出てくる、という盲撃ちのような形で導出しました。) 三角関数の演算でありがちなのですが、与式は様々な形に変形することができ、本質的には全て同じ値のはずです。しかし、演算者のちっぽけな脳みそのせいで、理解できる/利用できる値が限られてしまいます。理解できる/利用できる値に誘導するための方針が「計算テクニック」の類だとは思いますが、(1)、(2)はすぐに思いつくものの、(3)の考えには至りませんでした。 経験知の部分を問うような抽象的な質問で大変申し訳無いのですが、皆様のご意見をご教授頂ければ幸いです。
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