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線型空間のベクトル分配律は厳密にどこで定義されるか
線型空間に於けるベクトル分配律は、何処((左)群作用とかG-加群とか)で定義されるのでしょうか。 線型空間の定義は、以下の様に定義されたと思います。 体K=(K, +_K, *_K, 0_K, 1_K)、集合Vとする。 ∀k, k_0, k_1∈K, ∀v, v_0, v_1の時、 [1] k・(v_0 +_V v_1)=k・v_0 +_V k・v1 …スカラー分配律 [2] (k_0 +_K k_1)・v=k_0・v +_V k_1・v…ベクトル分配律 [3] (k_0 *_K k_1)・v=k_0・(k_1・v) …スカラー結合律 [4] 1_K・v=v …1_Kのスカラー乗法 [5] 0_K・v=0_V …0_Kのスカラー乗法 [6] -1_K・v=-v …-1_Kのスカラー乗法 以上[1]～[6]を満たす集合V=(V, K, +_V, ・)を、線型空間と言う。 もっと掘り下げてみると、線型空間は、R-加群(Rは環)の一種であり、R-加群はG-加群(Gは群)の一種、更にスカラ乗法は、(左)群作用の一種であると認識しています。 流れとしては、 (左)群作用→G-加群→R-加群→線型空間 かと。 群作用 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8 [(左)群作用の定義] 群G=(G, *, e_*, G^(-1))、集合Xとする。 写像L:G×X→X; (g, x)|→L(g, x)とすると、 ∀g_0, g_1∈G, ∀x∈Xの時、 [I] L(g_0*g_1, x)=L(g_0, L(g_1, x))…左作用結合律([3]スカラー結合律) [II] L(e_*, x)=x …単位元の左作用([4]1_Kのスカラー乗法) 写像Lを(左)群作用と言う。 群上の加群 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4 [G-加群の定義] 群G=(G, *, e_*, G^(-1))、集合Mとする。 ∀g∈G, ∀m∈Mの時、 [i] (M, +, e_+, -M)がアーベル群 (左)群作用L:G×M→M; (g, m)|→L(g, m)の時、 [ii] L(g, m_0+m_1)=L(g, m_0)+L(g, m_1)…左作用分配律([1]スカラー分配律) [i][ii]を満たす集合MをG-加群と言う。 と成るのですが、 環上の加群 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4 では、いきなり[1]～[4]が出て来ています。 [2]ベクトル分配律は何処できっちりと定義されるのでしょうか？後、[5][6]の方も気になります。
- R-E-T
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公理というのは、条件を満たしていればそれをそう呼んでしまいましょうというものです。 それ自身が具体的な定義の仕方を与えるものではありません。
- alice_44
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「流れ」に誤解があります。 線型空間は、加群(環上加群)の基礎環が体である場合ですが、 環上加群は、群上加群であるとは限りません。 環上加群の基礎環の乗法半群が、群だとは限らないからです。
お礼
御回答ありがとうございます。明らかな間違いなので、これは直さないといけませんね。 (左)群作用→R-加群→線型空間 と言う感じですか。 するとスカラー分配律とベクトル分配律はどこで定義されるのでしょうか？教えていただけると幸いです。
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御回答ありがとうございます。 スカラー分配律とベクトル分配律がR-加群で「本当に」定義されるのでしたら納得します。少ししつこく食い下がって質問をしているので。