ラプラス変換を求めたい

質問

次の二つのラプラス変換を求めたいのですが

(1)　　(t＾2)(e＾3t)sin2t

(2)　　(t＾2)(e＾2t)＋∫(τ＾2)cos3(t-τ)dτ　(積分範囲は0～τ)

(1)は　L[f*g]＝L[f][g]　を使い
L[t＾2]L[(e＾3t)sin2t]にして、ラプラスの変換の公式?

L[t＾n]＝n!/s＾n+1
L[(e＾at)sinωt]＝ω/(s-a)＾2＋ω＾2

を使い解いたのですが答えが合いませんでした。

(2)は　前部分(t＾2)(e＾2t)は　2/(s-3)＾3で合っているのですが、後ろ部分のラプラス変換がよく分かりませんでした。

ちなみに答えは
(1)　4{3(s-3)＾2－4}/{(s-3)＾2＋4}＾3
(2)　2/(s－2)＾3 ＋ (2/s＾3)(s/s＾2＋9)
となるはずなのですが…

どなたか解説・アドバイス、よろしくお願いします。

回答No.5

noname#5537 · ベストアンサー

> でもなぜg(t) = cos3(t-τ)ではないのでしょうか？

一般に， f(t) と g(t) の畳み込みは次式のように定義されます。
　f*g = ∫f(τ)g(t-τ)dτ　(積分範囲 0→t)
今，
　f*g = ∫(τ＾2)cos3(t-τ)dτ　
なわけですから，
　f(t) = t^2
　g(t) = cos(3t)
でないとおかしいですよね？

(1) は f(t) = (e＾3t)sin2t とすると，F(s) = 2/{(s-3)＾2＋4}
　L[t^2 f(t)] = d^2 F(s)/ds^2
実際計算してみると，解答と一致しました。
面倒だし読みにくいだけだと思うので途中経過は書きませんが，がんばって計算してください。

お礼

再び回答ありがとうございます。

(1)を計算したところ答えが合いました。
二回微分のところでどうやらミスをしていたみたいです。

f(t) = t^2
g(t) = cos(3t)

の部分も理解できました。

分かりやすい解説ありがとうございました。

回答No.4

keyguy

最初の２行に書き間違いがあったので修正します。

片側ラプラス変換は欠陥変換なので両側ラプラス変換で考えます。

ｆ（ｔ）＝ｓｉｎ（２・ｔ）・ｈ（ｔ）
とする。
Ｆ（ｓ）＝∫ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）ｄｔ・・・（１）
とする。
Ｆ（ｓ）はｓｉｎ（２・ｔ）の片側ラプラス変換である。
（１）においてｓをｓ－３に置き換えると
Ｆ（ｓ－３）＝∫ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）ｄｔ・・・（２）
（２）の両辺をｓで２回微分すると
Ｆ”（ｓ－３）＝∫ｔ＾２・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）ｄｔ
すなわち
ｔ＾２・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）の両側ラプラス変換
はＦ”（ｓ－３）である。
すなわち
ｔ＾２・ｓｉｎ（２・ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）の片側ラプラス変換はＦ”（ｓ－３）である。
すなわちＦ（ｓ）を２回微分した後ｓをｓ－３で置き換える。

ただし積分範囲は－∞から∞で
ｈ（ｔ）＝０（ｔ＜０）
ｈ（ｔ）＝１（０＜ｔ）
である。

要するに
Ｆ（ｓ）＝２／（ｓ＾２＋４）
を２回微分してｓをｓ－３と置きかえればいいのです。

お礼

回答ありがとうございます。

なにやら難しいのですが…
もう少し考えて見ます。

>要するに
Ｆ（ｓ）＝２／（ｓ＾２＋４）
を２回微分してｓをｓ－３と置きかえればいいのです。

この辺は分かった気がします。

回答No.3

keyguy

片側フーリエ変換は欠陥変換なので両側フーリエ変換で考えます。

ｆ（ｔ）＝ｓｉｎ（２・ｔ）・ｈ（ｔ）
とする。
Ｆ（ｓ）＝∫ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）ｄｔ・・・（１）
とする。
Ｆ（ｓ）はｓｉｎ（２・ｔ）の片側ラプラス変換である。
（１）においてｓをｓ－３に置き換えると
Ｆ（ｓ－３）＝∫ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）ｄｔ・・・（２）
（２）の両辺をｓで２回微分すると
Ｆ”（ｓ－３）＝∫ｔ＾２・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）ｄｔ
すなわち
ｔ＾２・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）の両側ラプラス変換
はＦ”（ｓ－３）である。
すなわち
ｔ＾２・ｓｉｎ（２・ｔ）・ｅｘｐ（３・ｔ）の片側ラプラス変換はＦ”（ｓ－３）である。
すなわちＦ（ｓ）を２回微分した後ｓをｓ－３で置き換える。

ただし積分範囲は－∞から∞で
ｈ（ｔ）＝０（ｔ＜０）
ｈ（ｔ）＝１（０＜ｔ）
である。

回答No.2

noname#5537

追加です。

(1) について，
L[(e＾3t)sin2t] の計算は表を使うとして，
周波数領域での微分，
　L[t f(t)] = - dF(s)/ds
を使えば出来そうな感じですねぇ。

参考URL：

http://www.outfo.org/mathematics/tranformations/laplace/tables/transform_properties/

お礼

ありがとうございます。

　L[t＾k f(t)] = (-1)＾k d＾kF(s)/ds＾k
にして使えそうですね…

L[(e＾3t)sin2t]
＝(-1)＾2d＾2/ds＾2　[2/{(s-3)＾2＋2＾2｝]

＝d/ds[-2(2s-6)/{(s-3)^2+4}^2]

＝-4{(s-3)^2+4}^2-4(s-3)×2{(s-3)＾2+4)(2s-6)}

＝-4(5s＾2-30s＋49)/{(s-3)＾2＋4}＾3　　　？？？

微妙に違ってしまいました…
もう少しやってみます。

回答No.1

noname#5537

思いついた点をいくつか。

(1)について，
　L[f*g]＝L[f] L[g]
上の公式の左辺の f*g は単なる積ではなくて畳み込み積分ですので，ここでは使えません。

(2)について，(積分範囲 0→t ですよね？)
「後ろ部分」は，f(t) = t^2 と g(t) = cos3(t) の畳み込み積分の形になっていますので，
　L[f*g]＝L[f] L[g]
の公式が使えます。

参考URL：

http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/ControlMecha1/node5.html

お礼

素早い回答ありがとうございます。
(積分範囲は 0→t でした。指摘どうもです)

(2)なのですが　f(t) = t^2 と g(t) = cos3(t)　にして考えたところ

L[t＾2]＝2/s＾3
L[cos3t]＝s/(s＾2＋3＾2)になり、答えが合いました。

でもなぜg(t) = cos3(t-τ)ではないのでしょうか？
見当外れな質問ですみません…