数学IIIの問題です、添削＆解答お願いします！

質問

数学IIIの問題です。
（１）～（３）は添削、（４）、（５）は解答を教えていただけると嬉しいです。

問、
数列｛Xi｝が次の漸化式を満たしている。
Xi+1=Xi^2+1/2(i=1,2,3,・・・)

（１）すべての自然数iに対して、Xi+1≧Xiが成り立つことを示せ。
（２）lX1l≦1のとき、全ての自然数iに対してXi≦1であることを示せ。
（３）自然数ｎに対して、等式Xn+1-X1=1/2*Σ（i=1,n）(Xi-1)^2
（４）lX1l≦1のとき、Xn+1-X1≧n/2*(Xn-1)^2が成り立つことを示せ。
（５）初項X1の値に応じて、数列｛Xn｝の収束、発散について調べ、
収束するときは極限値を求めよ。

（１）Xi+1-Xi≧0
Xi^2+1/2-Xi≧0
（Xi-1）＾2/2≧0
よって、すべての自然数iに対して成り立つ

（２）数学的帰納法を用いて導く。
（I）i＝1のとき、lX1l≦1よりX1≦1
よって、Xi≦1はなりたつ
（II）i=kのときXi≦1が成り立つと仮定するとXk≦1
i=k+1のとき、Xｋ+1=Xｋ^2+1/2
Xk≦1よりＸｋ+1≦1
よって、Xi≦1は成り立つ
(I)(II)より、全ての自然数iに対してXi≦1は成り立つ。

(3)(右辺)＝Σ（i=1,n）(Xi+1-Xi) (1より)
＝Xn+1-X1
=(右辺)
したがって、成り立つ。

回答No.2

noname#152422 · ベストアンサー

（１）～（３）は大体OKです。

大体と書いたのは、（１）の回答の最初の3行の書き方が気になったからです。
1行目に書いてあるのは結論なので、見る人によっては循環論法と看做されかねません。

X_(i+1)-X_i=((X_i)^2+1)/2-X_i=（(X_i-1）＾2)/2≧0

というように変形してから最後に平方完成がでてきたから非負ですよ、と書いておけば紛れがないです。

（４）と（５）については概要を書きますから詳細は自分で埋めてください。

（４）まず、（１）と（２）から

X_1<X_2<X_3<・・・<X_i<X_(i+1)<・・・<X_n≦1

となります。

これを使うと、i≦n-1となる任意の自然数iについて、

1-X_i>1-X_n≧0、つまり、(1-X_i)^2>(1-X_n)^2≧0、を導きます。

このあとは（３）にこの不等式を適用します。

（５）|X_1|≦1のとき（４）の説明に書いた最初の式から(X_i)が上に有界な単調増加列となるので収束します。極限値が何になるかについては漸化式で両辺の極限をとればわかります。

|X_1|>1のとき、漸化式の形からX_2>1であり、（１）より3以上のすべての自然数iについてX_i>X_2>1、つまり(X_i-1)^2>(X_2-1)^2>0となり、（３）から、X_(n+1)=「定数」＋n×「正数」の形になって収束しないことがわかります。

回答No.1

noname#152422

> Xi+1=Xi^2+1/2

これは次のうちどれの意味ですか？

１．(X_i)+1=(X_(i^2))+(1/2)
２．(X_i)+1=((X_i)^2)+(1/2)
３．(X_i)+1=(X_(i^2+1))/2
４．(X_i)+1=(X_(i^2)+1)/2
５．(X_i)+1=((X_i)^2+1)/2
６．X_(i+1)=(X_(i^2))+(1/2)
７．X_(i+1)=((X_i)^2)+(1/2)
８．X_(i+1)=(X_(i^2+1))/2
９．X_(i+1)=(X_(i^2)+1)/2
１０．X_(i+1)=((X_i)^2+1)/2

補足

説明へたですみません。
１０番のつもりで書いていました。