LC並列共振回路とインピーダンスマッチング

質問

前回と同じ題名の質問で多くのご回答を頂いたのですが、わたしの質問の要領悪さと理解力のなさから、十分納得することが出来ませんでしたので、再質問いたします。
前回分については「白紙」ということで、あらためて一からご回答いただきたく、敢えてURLは添付いたしませんので、よろしくお願いいたします。

質問２件あります。
Q1.ここに6t（タップ3t)で1µHのインダクタがあり、並列に接続したキャパシタにより、100MHに共振しているとします。
タップ3tに50Ωの負荷を接続し場合、一次側に200Ωの出力インピーダンスを持つドライバをつなげば当然インピーダンスマッチングがとれるわけですが、これが200Ωでなかったらどうなるでしょうか？　（どういう違いが出てくるか？）

100Ω(1/2)の場合、400Ω(2倍）の場合、更に複素数を持つ場合などありますが、取り敢えずは100Ω/400Ωの場合のみ実数でお答えいただきたく、もしその他条件の設定が必要なら、ご回答者さまの方で適当な条件設定をされてもかまいません。
複素数の場合は条件が複雑になると思いますので省略されてもかまいません。

Q2.上記回路において、使用するトランスが「12t：6t」だったらどうなりますか？
（上記のマッチングが取れている場合との比較）

前回ご回答で、「(3dB 反射) 整合帯域幅 BW は、　BW = 4πLfo^2/R」
とのご回答を頂いたのですが、この式に従えば帯域幅は４倍になると考えてよろしいですか？（fo, R不変）
なお、式中の[R]についてご教示ください。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

Q1 は「タップ3tに50Ωの負荷を接続し」かつドライバが「200Ωでなかったらどうなる…？」でしたか。
　ならば、
　　↓
インピーダンス比 (一次：二次)
　100Ω：50Ω → 一次側換算 100Ω：200Ω → 反射係数 (100-200)/(100+200) = -1/3
　200Ω：50Ω → 一次側換算 200Ω：200Ω → 反射係数 (200-200)/(200+200) = 0
　400Ω：50Ω → 一次側換算 400Ω：200Ω → 反射係数 (400-200)/(400+200) = 1/3

お礼

なるほど！
ミスマッチ時の計算はこういう風にするのですか。
どちらもSWR=2ということなのですね。

質問文が拙劣でお分かりいただけなかったことを（前回も含めて）お詫びいたします。
有難うございました。

回答No.3

tadys

＞QQ1

信号源の出力インピーダンスが２００Ωの場合には負荷抵抗が２００Ωの場合に負荷抵抗が受け取る電力が最大になります。

例えば、信号源の無負荷電圧が４００Ｖで２００Ωの出力インピーダンスの場合、負荷抵抗を２００Ωとすると、信号源からは１Ａの電流が流れだします。
４００Ｖ／（２００Ω＋２００Ω）＝１Ａ
この時負荷が受け取る電力は １Ａ×１Ａ×２００Ω＝２００Ｗです。

負荷抵抗を３００Ωにすると
４００Ｖ／（２００Ω＋３００Ω）＝０．８Ａ
０．８Ａ×０．８Ａ×３００Ω＝１９２Ｗ となって、２００Ｗより減ります。

負荷抵抗を４０Ωになると流れる電流は
４００Ｖ／（２００Ω＋５０Ω）＝１．６Ａ
負荷の電力は １．６Ａ×１．６Ａ×５０Ω＝１２８Ｗ となって減ります。
負荷の電力が」１２８Ｗでも気にしないのであればインピーダンスマッチングをする必要はありません。
電灯線から電力を取る場合などはインピーダンスなど気にしませんからね。

信号源には２００Ｗの供給能力が有るのだから、５０Ωの負荷でも２００Ｗ受け取りたいと言う場合にはインピーダンスマッチングが必要になります。
５０Ωで２００Ｗにするには１００Ｖの電圧が必要です。
一方で、２００Ωで２００Ｗの電力にするには２００Ｖです。
この場合、電圧を半分にするトランスでインピーダンスマッチングが出来ます。

お礼

再度のご回答誠に有難うございました。

回答No.2

tadys

まずは、タップ付きのコイルの事は忘れてください。

インピーダンスマッチングには二つの意味が有ります。
１．伝送線路の特性インピーダンスと負荷／信号源のインピーダンスの整合を取る事。
２．信号源から最大電力を得られるようにする事。

質問のインピーダンスマッチングは２の意味のインピーダンスマッチングです。
信号源のインピーダンスが純抵抗の場合は話が簡単で、負荷抵抗と信号源の抵抗が等しい場合に負荷が受け取る電力が最大になります。
信号源インピーダンスが複素数の場合はその共役複素数がマッチングの条件になります。
信号源インピーダンスを R+jX とした場合の共役複素数は R-jX です。

この話で前提となっているのは、最初に信号源のインピーダンスが決まっていてそれに対して最大電力を受け取るインピーダンスがいくつになるかを問題にしている事です。
もし負荷インピーダンスが決まっていて信号源インピーダンスを変えていいのであれば、信号源インピーダンスが低いほど負荷が受け取る電力は大きくなります。
例えば、信号源インピーダンスが１００Ωなら負荷インピーダンスが１００Ωでマッチングしていますが、信号源インピーダンスを１０Ωに変えれば負荷が受け取る電力は大きくなります。
しかし、その場合に負荷インピーダンスを１０Ωにすればより多くの電力を受け取る事が出来ます。

質問の問題では、２００Ωのインピーダンスを持つ信号源から５０Ωの負荷抵抗に最大の電力を供給するにはどうするかという事を問うています。
この答えの一つは、１次側と２次側の巻数比が２：１のトランスを間に入れる、というものです。
巻数比ですから、２t：１tでも、６t：３ｔでも１２ｔ：６ｔでも同じ事です。

次にトランスではなくコイルではどうなのかという話です。
タップ付きのコイルは理想トランスとコイルの並列回路と等価になります。
この場合、負荷とコイルが並列に接続される以外は前述の条件と同じです。
コイルが並列に接続される為に共役条件から外れます。
その為、コンデンサを入れてコイルの影響をキャンセルするのです。
キャンセルできる周波数はLとCが共振する周波数です。
周波数が共振周波数からずれると共役条件が満足できなくなり、負荷が受け取る電力は減少します。
負荷が受け取る電力が最大電力の半分になる周波数を帯域幅と呼んでいます。
またこれは共振回路のQで表す事も出来ます。
並列回路のQは次の式で表されます。
Q＝Ｒ/(ωＬ)
このωは共振周波数での値です。
Qと帯域幅の関係は Q＝中心周波数／帯域幅 です。これが成り立つのはQが有る程度大きい場合です。
帯域幅を大きくしようとするとコイルのインダクタンスを大きくする必要が有りますが、インダクタンスを大きくすると浮遊容量が増えて自己共振周波数が下がる為高い周波数で使えなくなります。
その為、広帯域でのマッチング回路を作る時は複数のLCを使ったり、少ない巻数で大きなインダクタンスを得られるトロイダルコイルを使用します。

Q1、Q2については

Q1.
A1.負荷が受け取る電力が少なくなります。

Q2.
A1.何も変わりません。ただし、これはコイルが理想的な場合の話です。
実際の回路では巻数が変わるとコイルのQや自己共振周波数が変わるので影響が現れます。
どうなるかは具体的な値が提示されなければする事が出来ません。

補足

ご回答ありがとうございます。
補足が遅くなったことをお詫びいたします。

>Q1.
>A1.負荷が受け取る電力が少なくなります。

QQ1
質問では、（200Ω（整合）が）100Ωになった場合と400Ωになった場合との２条件を聞いていますがどちらも「負荷が受け取る電力が少なくなる」ということでしょうか？
前段のご説明によると、前者と後者では結果が異なるのではないか、という気がするのですが・・・？

>その為、コンデンサを入れてコイルの影響をキャンセルするのです。

QQ2
これは一次、二次両方に共振回路を設ける、ということでしょうか？
（コイルですから、一次、二次という言い方はおかしいですが・・・）

回答No.1

178-tall

まず、検討の前提を単純化 (モデル化) してみましょうか…。
　(1) 巻回数比 2 : 1 のインダクタンスにキャパシタを並列接続し、100MH にて共振。
　(2) 巻き線巻の結合係数は 100 % 、L, C の Q は無限大。

Q1. 「200Ωでなかったらどうなる…？」
　↓
100MH だけに着目すれば、L, C の インピーダンスが無限大になるので、一次/二次のインピーダンス比が 4/1 であれば、常にインピーダンスマッチングがとれる。
(つまり反射零。当然ですね)
「違い」は、100MH 前後の周波数特性 (たとえば、半値幅) に現れます。

Q2. 「(3dB 反射) 整合帯域幅 BW は、BW = 4πLfo^2/R」なら「帯域幅は４倍になると考えてよろしいですか？」
　↓
そのとおり。巻回数が 2 倍なら、L は 4 倍になるでしょうから。
一次側の換算式とみなせば、L, R ともに一次側の値。
(タップダウンは無視し、SPICE などで周波数特性をシミュレートすると、実感できるのかも…)