- 締切済み
平均値の定理の仮定(？)について
平均値の定理で"区間[a,b]で連続で、区間(a,b)で微分可能ならば～"となっていますが 連続性は閉区間で求められているのに、微分可能かどうかは開区間で求められてることの理由が分かりません 何かそこに重要な理由があるのでしょうか？よろしくお願いします。
- scorchtear
- お礼率20% (5/25)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数0
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- graphaffine
- ベストアンサー率23% (55/232)
>微分可能かどうかは開区間で求められてることの理由が分かりません 点xにおける微分係数の定義はlim[h→0](f(x+h)-f(x))/hです。 ここで、h→0とはhを右側及び左側の両方から0に近づけることを表します。 しかし、xが閉区間[a,b]の左端aの場合には、左側から近づけることができません。 hが負ならばa+hはaより小さくなり、定義域を外れるためです。以上が、ご質問で 求められている理由です。 以降は記憶が多少あやふやですが、閉区間の端点でも微分可能とするためには、次の2つの 流儀があったと思う。 (1)左端では、lim[h→+0](f(x+h)-f(x))/hで、微分係数を定める。ここで、h→+0とは、右側からのみ0に近づけることを表します。 (2)左端aにおいては、aを含む開区間にfの定義域が拡張できるとき、その開区間における微分係数をaの微分係数と定める。
関連するQ&A
- 平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。
平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。 y=f(x)は区間［a,b]で連続で，区間(a,b)で微分可能であるとき，平均値の定理より・・・となるわけですが，(1)y=f(x)は区間［a,b]で連続 (2)区間(a,b)で微分可能である ということですが，この２つは何が根拠なのですか？こういうことであってますかね？ y=f(x)が，例えば，２次関数（放物線）であった場合， (1)すでにこのグラフの形を学んで知ってるので，そのグラフの形状を根拠に区間[a,b]で連続という。 (2)f(x)の導関数f'(x)があることを，すでに学んで知っている。また，f(x)が区間[a,b]で連続でなめらかであるから，f'(x)も区間(a,b)で全域で存在する。開区間になるのは，左微分係数＝右微分係数＝f'(a)が出来ないから，開区間になる。 ということでいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理の細かい疑問
f(x)=2√xと区間[1,4]について,平均値の条件を満たすcの値を求めよ。 解 f(x)は区間(1,4)で微分可能でf`(x)=1/√x・・・・・・・・以下省略 教えてほしいところ 解説には上のように書いてあったんですが、f(x)は区間(1,4)で微分可能という記述が変な気がします。平均値の条件は[a,b]で連続で(a,b)で微分可能ですよね？？ 上の記述では(a,b)で連続で(a,b)で微分可能という意味しかもちません。 これでは平均値の定理の条件が不十分なので問題があるんでは？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理について
微分積分の平均値の定理について、質問がございます。なぜ、[a,b]において連続であり、(a,b)で微分可能でないとだめなのでしょう？[a,b]で微分可能である必要はないのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシーの平均値の定理
[定理] ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)閉区間[ａ,ｂ]で連続、開区間(ａ,ｂ)で微分可能、かつ(ａ,ｂ)でｇ'(ｘ)≠０とすれば、 {ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}＝ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ) (ａ＜ｃ＜ｂ) となるｃが存在する。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (問)この定理は平均値の定理の拡張とみなせるみたいですが、なんとなくそういう雰囲気は感じても、納得できません。 どのように求めればいいのでしょうか？ (問)また、平均値の定理から {ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｆ'(ｃ) {ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｇ'(ｃ) (ａ＜ｃ＜ｂ) これらを辺々割れば、上の定理が得られる。 という簡単な証明をしてみたんですが、これでは不正解らしいです。 どこが悪いのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理 区分求積法
平均値の定理 区分求積法 あるサイトで見てそのまま写したのですが、 平均値の定理が 関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で開区間(a,b)で微分可能の時、 f(b)-f(a) / b-a =f'(c) (a<c<b) をみたすcが少なくとも1つは存在する。 ということは、 このckの範囲内にckが1つとは限らないということですよね。 そうすると、ckの幅はバラバラになり、区分求積法ができなくなることはありませんか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシーの平均値の定理の問題です。
f(x),g(x)は[a,b]で連続かつ(a,b)上微分可能とする。さらに、g(x)が狭義単調増加関数であるとき、コーシーの平均値の定理、すなわち f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) c∈(a,b) となるcがあることをつぎのように証明せよ。 閉区間[g(a),g(b)]で定義される関数h(x)=f(g^-1(x))に平均値の定理を適用するです。 わかるかたがおられたら是非とも教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理のcをbの関数と考えると・・・
平均値の定理： a < b とし、f(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数とする。このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して {f(b)-f(a)}/{b-a}=f '(c) が成り立つ。 これから述べる質問のために、少し設定や記号を変更します。 関数f(x)は[0,∞)で連続で、(0,∞)で微分可能。 また簡単のために、f(0)=0 と設定します。 ここで、微分可能関数f(x)において、区間[0,x]（ただしx>0）を考えると、 {f(x)-f(0)}/{x-0}=f '(c) つまり、 f(x)/x=f '(c) となるcが 0<c<x の範囲に存在します。 cは一意的に取れるとは限りませんが、とりあえず一つのcを取ります。 ここで、xに対して、cが取れると考えて、c(x)と書きます。 xを動かすと、c(x)は連続関数となるようにできるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラーの定理について
テイラーの定理は関数f（x）が、閉区間［a，b］で連続、開区間（a，b）でn＋1回微分可能なのに、なぜf′（a）やf“（a）みたいにaで微分できているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ロルの定理の前提『［a,b］で連続、(a,b)で微分可能』について。
皆様、お世話になります。よろしくお願いします。 _____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ロルの定理 f(x)が閉区間［a,b］で連続、開区間(a,b)で微分可能でf(a)＝f(b) ならばf'(ξ)＝0、a≦ξ≦bなる点ξが存在する。 _______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ の前提部分の『閉区間［a,b］で連続、開区間(a,b)微分可能』 がいまいちよく分かりません。 定義域の端点においても微分可能が定義でき、なおかつ微分可能であれば連続であるので 『閉区間［a,b］で連続、開区間(a,b)微分可能』を『閉区間[a,b]において微分可能』とまとめてしまっても良いような気もするのですが、 このようにしない理由は何なのでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
あ、つまり単純に端では連続であったとしても、微分はできないから含まないということでいいのでしょうか？