コーシーの平均値の定理

質問

[定理]
ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)閉区間[ａ,ｂ]で連続、開区間(ａ,ｂ)で微分可能、かつ(ａ,ｂ)でｇ'(ｘ)≠０とすれば、

　{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}＝ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)　　(ａ＜ｃ＜ｂ)

となるｃが存在する。

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(問)この定理は平均値の定理の拡張とみなせるみたいですが、なんとなくそういう雰囲気は感じても、納得できません。
どのように求めればいいのでしょうか？

(問)また、平均値の定理から

　{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｆ'(ｃ)
　{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｇ'(ｃ)　　(ａ＜ｃ＜ｂ)

これらを辺々割れば、上の定理が得られる。

という簡単な証明をしてみたんですが、これでは不正解らしいです。
どこが悪いのでしょうか？

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>(問)この定理は平均値の定理の拡張とみなせるみたいですが
g(x) = x の場合が通常の平均値の定理ですね。

>という簡単な証明をしてみたんですが、これでは不正解らしいです。
>どこが悪いのでしょうか？

平均値の定理は {ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｆ'(ｃ) なる c が存在することを言っていますが、c は f, a, b によって決まります。

{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｇ'(ｃ) と満たす c は g, a, b によって決まり、当然前者と後者は一致しません。

お礼

koko_u_さん、ありがとうございます。
ちなみになんですが、

この定理を証明するには、

　{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}＝ｋ(定数)
　　　　∴{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}－ｋ{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}＝０

とおいて、

　Ｆ(ｘ)＝{ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)}－ｋ{ｇ(ｘ)－ｇ(ａ)}

という関数を考えればよい。

という、ヒントをもらったのですがこの先はどのようにするのでしょうか？
もし分かったらお願いします。ずうずうしくてスミマセン。

回答No.3

abyss-sym

{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}＝Ｋ と置きます。

ここで、Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－Ｋ{ｇ(ｘ)－ｇ(ａ)} とします。

ロルの定理から、Ｆ'(ｃ)＝０ となるｃ(ａ＜ｃ＜ｂ)が存在する。

Ｆ'(ｘ)＝ｆ'(ｘ)－Ｋｇ'(ｘ)

ｘ＝ｃとしてＦ'(ｃ)＝０だから、０＝ｆ'(ｃ)－Ｋｇ'(ｃ)

これよりＫ＝ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)

したがって、{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}＝ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)

証明終わり。

回答No.2

Tacosan

平均値の定理.