- ベストアンサー
x^nの微分
x^nを微分するとnx^(n-1)となりますが、その証明がいまいちわかりません。 二項定理を用いた証明をご教授ください。
- 123454321a
- お礼率36% (31/86)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
その証明は、たいていの教科書に書いてありますから、 改めて此処に書きだしても、意味はないでしょう。 どうやったら貴方が自力で証明できるか、考えてみましょう。 「いまいちわかりません」というのが、何をどのくらい理解していて どこで解からなくなったということなのか、さっぱり解かりません。 とりあえず、 (1) 微分係数の定義を書いてみる。 (2) 二項定理とは何か書き出してみる。 …をやってみた上で、 (3) { (x+h)^n - x^2 } / h がどんな式になるか、補足に書いてください。
補足
説明不足ですみません。 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/keisan/diff-x%5En.html こちらのサイトで、2行目にいきなりsが出てきたりして混乱しています。
関連するQ&A
- 数学的帰納法ぬきで二項定理を証明したい
こんにちは。たとえば、微分の公式 D(x^n)=nx^(n-1) を証明したいとき、数学的帰納法で証明することも出来ますが、それだと微分の結果の予想をしなければならず、初見者には天下り的でなんとなく不満が残ります。 できることなら、演繹的に示したい。 D(x^n)=nx^(n-1)においては、対数微分を使えば示せます。 そして、二項定理 (a+b)^n = Σ[k=0,...,n](nCk) (a^k) (b^(n-k)) ですが、これを数学的帰納法ぬきで証明したいのです。 いいアドバイスをお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- xのn乗の微分の公式！！
参考書に「(定理） xのn乗の微分の公式 （i) f(x)=xのn乗（nは正の整数）のとき f '(x)=d/dx・xのn乗=n・xのn-1乗 （ii) f(x)=c(cは定数）のとき f '(x)=d/dx・c=0 ただしx=0の場合を除けば、(ii)は(i)のn=0の場合に含めることもできる。」とかいてあったのですが、「ただし・・」いこうの文がどういういみなのかわかりません。 教えてください！！！おねがいします！！！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2
ｈ＞0のとき(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2 これを示すのに「右辺は二項定理で展開して昇べき順で並べたときの最初の3項」ってことでは証明になりませんか？ 数学的帰納法でしょうか？ あと、0＜ｘ＜1のときlim[n→∞]nx^n＝0 を先の不等式を用いて示せという問題がわかりません。 一見明らかにみえますけど。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- cos（x/2）＊cos（x/2^2）＊・・・・・cos（x/2^n）
実数ｘ及び自然数ｎに対して a_n＝cos（x/2）＊cos（x/2^2）＊・・・・・cos（x/2^n） とする。 (1)2^n＊a_n＊sin(x/2^n)の値はｎと無関係に一定であることを証明せよ。 (2)log｜a_n｜をｘで微分することにより、 Σ(n=2～∞)1/2^n ＊tan(π/2^n）＝1/π であることを証明せよ この問題に取り組んでいます。 (1)で2^n＊a_n＊sin(x/2^n)の計算を行っていて、いろいろな三角関数の公式を利用してみたのですが全然うまくいきません。「ｎと無関係」ということはｎが消えればいいということだと思うのですが・・・。 (2)はloga_nを微分したところ -1/2 tan(x/2) - 1/2^2 tan(x/2^2) -・・・となったのですがここから証明すべき式に変形するにはどうしたらいいのでしょうか？ 回答いただければありがたいです。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の公式と対数の公式の関係
微分のdx^n/dx=nx^(n-1)という公式は対数の logx^n=nlogxという公式にどことなく(数学の得意な人には嫌われる表現ですが）似ているように思われるのですが数学的には根拠がないことなのでしょうか。微分のほうは二項定理などから納得できるのですが対数のほうでは二項定理は関係がないだろうと思ったりしております。何か初学者の独学に参考にさせていただけるようなご教示をいただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明です。
e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明です。 「x>0のとき、任意のn∈Nに対して、e^x>Σ[k=0→n]x^k/k !が成り立つことをTaylorの定理を用いずに示せ。」という問題です。Taylorの定理を使わない場合、どのように証明すればよろしいのでしょうか？ 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Y=Xの（1/2)乗の微分について。
Y＝Xの(1/2)乗 の微分は、 『Y=Xのｎ乗の微分公式Y'=ｎXの(n-1)乗』を用い、 Y'=(1/2)Xの(-1/2)乗になります。 ところで上の微分公式について、ｎが自然数の時は微分の定義に式を入れ、展開していって理解ができますが、ｎが自然数以外(分数)のときでもどうして成り立つかを、おしえて下さい。 ※電気関係の試験勉強のため、数学を復習し直している者です。学校では、何の疑問も無かった（もしかすると疑問があっても考える余裕が無かった）箇所で詰まってしまって・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。 中学生なので教科書がある前提の話は困ります。