複素数

質問

iを虚数単位とし、正の整数nに対して複素数Znを次のように定める。
z[1]=1,z[2m]=z[2m-1]*(1+i),z[2m+1]=z[2m]*i
ただし、mは正の整数とする。

z[2]=1+i,z[3]=-1+i,z[4]=-2,z[5]=-2iである。

複素数w[n]を　w[n]=z[2n]*z[2n+1]　で定義するとき

w[1]=-2,w[2]=4i,w[3]=8　であり　|w[10]|=1024　となる

(1)z[n]が実数となるようなnを小さい順に並べたものを
b[1],b[2],b[3],・・・とすると
b[2n]-b[2n-1],b[2n+1]-b[2n]を求めよ。

(2)z[n],z[n+1],0を頂点とする三角形の面積をS[n]とすると
S[2m]/S[2m-1],S[2m+1]/S[2m]を求めよ。

答(1)b[2n]-b[2n-1]=3,b[2n+1]-b[2n]=5
(2)S[2m]/S[2m-1]=2,S[2m+1]/S[2m]=1

どうするとこのような答になるのでしょうか？
解説をお願いいたします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

これは問題文に少し問題があって
　「b[2n]-b[2n-1],b[2n+1]-b[2n]を求めよ。」
というのは
　「b[2k]-b[2k-1],b[2k+1]-b[2k]を求めよ。」
のようにn以外の文字を使う方が良いでしょう。
さて実際にz[n]を計算してみると、z[6]=2-2i,z[7]=2+2i,z[8]=4i,z[9]=-4,z[10]=-4-4i,z[11]=4-4i,z[12]=8 で、実数になるのはz[1],z[4],z[9],z[12]…なので
　b[1]=1,b[2]=4,b[3]=9,b[4]=12,…
なのです。複素平面上で、z[1]=(1,0)なので、ここからπ/4とπ/2ずつ回転して行くと、3番目と5番目毎に実軸上に来ることが分かります。
　あるいは次の様にしても良いでしょう。z[n]の実部をx[n],虚部をy[n]とし
┌x[n]┐
└y[n]┘
というベクトルをp[n]とします。するとz[2m]=z[2m-1]*(1+i),z[2m+1]=z[2m]*i より、行列Aを
┌1 -1┐
└1 1 ┘
行列Bを
┌0 -1┐
└1 0 ┘
で定義すると、p[2m]=Az[2m-1],p[2m+1]=Bp[2m]となります。
BA=
┌-1 -1┐
└ 1 -1 ┘
ABA=
┌-2 0┐
└ 0 -2┘
BABAB=
┌2 0┐
└0 2┘
なので
p[1]=
┌1┐
└0┘
から出発すると、3番目と5番目毎に実数が来ます。

お礼

ご解答有難うございました。
なんとか理解はできました。

回答No.3

grothendieck

No2の回答の中で
　p[2m]=Az[2m-1]
とあるのは
　p[2m]=Ap[2m-1]
の誤りです。

回答No.1

grothendieck

malxさん、こんにちは。(1)の方だけ回答します。
　z[2m]=z[2m-1]*(1+i),z[2m+1]=z[2m]*i
より
　arg(z[2m])=arg(z[2m-1])+π/4
　arg(z[2m+1])=arg(z[2m])+π/2
となるので、z[n]の偏角はπ/4とπ/2が交互に足されることになります。したがって、z[n]が実数になる、すなわち偏角がπの整数倍になるのは
　π/4 + π/2 + π/4 = π
　π/2 + π/4 + π/2 + π/4 + π/2 = 2π
のように3番目と5番目に交互に出てくることになります。したがって
　b[2n]-b[2n-1]=3,b[2n+1]-b[2n]=5
(2)の方はご自分でどうぞ。

お礼

ご解答有難うございます。
まだあまりわかっていないのですが、
＞π/4 + π/2 + π/4 = π
　π/2 + π/4 + π/2 + π/4 + π/2 = 2π
のように3番目と5番目に交互に出てくることになります。
このことからどのようにすれば
b[2n]-b[2n-1]=3,b[2n+1]-b[2n]=5
が導けるのでしょうか？
宜しくお願いします