複素数

質問

『複素数z、w(z≠0、w≠0)に対して複素平面状の点0、z、wが正三角形の頂点となるためにz^2＋w^2＝zwという等式が成り立つことが必要かつ十分であることを示す』
という問題の考え方がいまいちわからないです＞＜
極形式を使って解くのだと思ったのですが、
ご教授よろしくお願い致します。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

0,z,wが正三角形をなすための必要十分条件は、原点を中心としてzを
π/3または-π/3だけ回転させるとwになるということです。
これを式で表わすと、
w={cos(±π/3)+i*sin(±π/3)}z=(1±√3i)/2*z
となるということです。

必要条件
0,z,wが正三角形をなすとすると、
w=(1±√3i)/2*z
より、
w/z=(1±√3i)/2、z/w=(1マイナスプラス√3i)/2
（マイナスプラスを記号でだすと文字化けするのでこう書いた）
となるので、
w/z+z/w=1
両辺にzwを掛けると、
z^2+w^2=zw
がでます。

十分条件
逆に、z^2+w^2=zwが成り立つとすると、両辺をz^2で割ると、
1+(w/z)^2=w/z
(w/z)^2-(w/z)+1=0
これより、（二次方程式x^2-x+1=0の形）
w/z=(1±√3i)/2
w=(1±√3i)/2*z
となるので、0,z,wは正三角形をなすことがわかります。

お礼

ありがとうございました!!
とても詳しく書いていただいて助かりました☆
自力でもう一度やってみたいと思います^^

回答No.2

kkkk2222

Ｚ＾２－ＺＷ＋Ｗ＾２＝０
（Ｚ＋Ｗ）（Ｚ＾２－ＺＷ＋Ｗ＾２）＝０
Ｚ＾３＋Ｗ＾３＝０
Ｚ＾３＝－Ｗ＾３
Ｚ＾３／Ｗ＾３＝ー１
ー１の三乗根の内二つの虚数解は
cos（π/3)±isin（π/3) であり、複素平面上で±60度回転を意味することになります。
Ｚ＝（cos（π/3)±isin（π/3)）Ｗ

適切に逆変形して、必要十分を示せると思います。

回答No.1

atushi256

実軸上に点ｗが有るような場合を考えます。
つまりｗ=Rw (Rwは実数です)となるようにします。
さらに簡単のため、Rw=1としてしまいましょう。

この時、点ｚは極形式の形でexp(±i π/3)の位置にあれば、正三角形になります。
言い換えれば、「正三角形であることを示す」ことは、「z=exp(±π/3)である事を示す」ことになるわけです。

exp(±i π/3) = cos(±π/3) + i sin(±π/3) = 1/2 ± i (√3)/2

さて、必要十分であることを示すためには、
(１)　z^2-zw+w^2 = 0 ならば 「正三角形」
(２)　「正三角形」 ならば z^2-zw+w^2 = 0
を示せばいいことになります。

「正三角形であること」と「z = exp(±π/3)であること」は同じなので、結局以下のようになります。

(１)　z^2-zw+w^2 = 0 ならば 「z = exp(±π/3)」
(２)　「z = exp(±π/3)」 ならば z^2-zw+w^2 = 0

今w=1ですから、z^2-zw+w^2=z^2-z+1=0となり、
これは単純に2次方程式ですから、zについて解くことができて、
z = (1±i √3)/2 = exp(±π/3) となります。
これで（１）は示されました。

またz = exp(±π/3)ならば、単純にz^2-z+1に代入してみて、0になることを確認すれば、（２）が示されます。

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ｗが実軸上にあるという条件をかしましたが、これは座標軸のとり方を「そうなるように設定した」と考えることができます。
つまり、適当にｗを取ってきても、座標軸は「そのように取れてしまう」ので、一般性を失いません。
ですからw=Rwとするところまでは一般的な議論です。

Rw=1とするのも、メモリのとり方を「そうなるようにスケーリングした」と解釈すれば、一般性を失いません。
がしかし、たぶんRw=1とするのは、少々やりすぎかもしれません。
（テストに書いて、×をもらう可能性があるかもと言う意味です。）
Rw=1では無い場合に拡張するのは簡単なので、試してみてください。