ε-δ論法のことで

質問

大学の教養でε-δ論法を学んでいるのですが、そのことについて質問です。

講義では、
（１）任意の正数εに対して、０≦ｘ＜εならばｘ＝０
と教わり、極限点の一意性を、
２つの極限点ｐとｑの距離が任意のε＞０より小さくなることを証明して、ｐ＝ｑ
と証明したりしています。

しかし、(x,y)→(a,b)とするときの関数f(x,y)の極限がｃであることの定義
「任意の正数εに対し、ある正数δが存在して(x,y)と(a,b)の距離がδより小さいならば
f(x,y)-cの絶対値がεより小さくなる」
において、（１）を用いて「～ならばf(x,y)-c=0となる」と書かない（書けない？）のはなぜでしょうか？

今までの講義では、定数同士の距離に対しては（１）が適用できて、nや(x,y)による数字が入っているものだと使っていないみたいなのですが、そうなのだとしてもなぜ後者では（１）を使わないのかがわかりません……

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

証明できたのに、解らないとは、変な話ですね。
定理の意味とは、証明そのもののことですが…

1.
標準実数には、限りなく近いが異なる二数というものは存在しないからです。
「数学的な証明」をしたとき、そのことを示したのだと思います。

無限小を含む超準実数のモデルには、限りなく近いが異なる二数は存在します。
p,q がそのような対であれば、任意の正数 ε について |p-q|<ε だが p-q≠0、
ただし p-q の標準部分は 0 となります。

無限小の取り扱いは、あまり易しくないので、超準解析に手を出すのは、
ある程度 εδ をこなしてからにしたほうがよいです。

2.
f(x,y) は、q に近いだけで、= q ではないからです。
(x,y) を定めて f(x,y) を「一つの値」とする場合、f(x,y) は、
δ がどれだけ小さくても、δ=0 でない以上、=q になる義理はありません。
具体的に f(x,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 とかで、実験してみたらどうですか？

お礼

標準実数と超準実数というものものもあるのですね。
何となくですが、つかめた気がします。

ていねいに答えていただき、ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

(1)の結論は、「x→0」ではなく、「x=0」ですね？
極限の定義のεδ式を変形して、「&#65374;ならば、lim[(x,y)→(a,b)]f(x,y)-c=0」
という形にすることなら、(不自然な言い回しになりますが)、できます。
「&#65374;ならば、f(x,y)-c=0」という形には、できようがありません。
実際、f(x,y)=c じゃないんですから。f(a,b)=c ですらないかもしれない。
極限のとは、どんなものか、初歩の雰囲気でかまわないので、
まず、高校のテキストで掴んでから、戻ってきてはどうでしょう。
質問の点は、変数が高次元かどうかとは、関係がありません。
まず、f(x)→c で考えてみるといい。

お礼

お答えありがとうございます。
高校でも極限の問題はこなしてきたので、一般にはf(x,y)=cとはならないことも理解しているつもりです。
ただ、（１）と極限の定義との間にどのような違いがあるのかがわからないのです。

まだモヤモヤしてるので、
厚かましいですが以下の質問にも答えてくださるとありがたいです。
１、定数p,qがあって任意の正の数εにたいして｜p-q｜＜εならばp-q=0となるのはなぜか？
（数学的な証明はできるのですが、極限のように、qがpに限りなく近い数なだけと言えないのはなぜかがわかりません）

２、あるいは逆に、質問文の（１）が成立するとして、(a,b)との距離がδよりも小さい点（x,y）を定めるとｆ（x,y）は一つの値なのだから、それをp,極限をqとして（１）を適用できないのはなぜか？