イプシロンデルタ論法について

質問

高校ではlim[x→∞]１/n＝０として様々な極限に関する問題をときますが、一方でこの極限を大学に入ったらイプシロンデルタ論法でまた証明するということをします。

では、高校では証明なしに使っていたということでしょうか。しかし証明なしで使っていたとすると、検定教科書には定理として載ってるはずですが（はさみうちの原理のように）。

また、lim[x→∞]１/n＝０は証明なしに明らかなことだと思うんですが・・・。

以上、よろしくお願いします。

回答No.7

funoe · ベストアンサー

>「実数係数の３次方程式は、少なくとも一つ実解（実根）をもつ」なんてのも、
>証明なしに用いることが許される定理ですが、この定理の証明も高校生にはできませんよね。
>もちろん「感覚的にはあきらか」なんですけどね。

もし、このセンテンスに引っかかって、何かを考え始めているのだとしたら、
・有理数係数の３次方程式は、必ずしも有理数解をもたない。
という命題を考えるのが近道です。そうすれば有理数と実数の本質的な違いを教わっていないことに気づくでしょう。

３次曲線のグラフを思い描いて
「だって、数直線には有理数だけだと隙間（無理数）があるからそこをスリ抜けちゃうジャン」って思うのは正しい感性ですが、
「じゃぁ、実数には隙間はないの？」
「一見隙間なくびっしり詰まっている有理数でさえスリ抜けるわけだから、同じくびっしり詰まっているように見える実数でも隙間があるんじゃ？」
「ルート（√）を習い有理数でない数（無理数）の存在を学ぶまで、そこに隙間（数）があること、知らなかったよね」

--
数学科に入学すると最初に、ε-δに限らず数の構成を基本から（定義・公理から）再確認し、
「これまで証明なしに用いていた定理を、正しく証明しなおす」ことになります。ｍ＋ｎ＝ｎ＋ｍとかね。

お礼

確かに考えてみれば高校の数学って感性で正しいなら正しいとしている部分がありますね。

大学ではそれらを疑うという姿勢をとるんですね

ありがとうございます！

回答No.8

Tacosan

ん? #4 への補足にある
「はさみうちの原理は高校の検定教科書では説明されていません」
ってどういう意味だ? 高校の検定教科書にははさみうちの原理は書かれていないってこと?

質問文の
「しかし証明なしで使っていたとすると、検定教科書には定理として載ってるはずですが（はさみうちの原理のように）」
は
「はさみうちの原理は検定教科書に定理として載っているが証明はされていない」
としか読めないんだが, それと上の文章は明らかに矛盾してるぞ.

どう解釈すればいいんだ?

もちろん高校レベルでは
lim[n→∞]１/n＝０
は証明なしに使っている... というか, もともと極限をまともに定義していない以上 (極限が絡む他のものと同様) そもそも証明できないんだから証明なしに使わざるを得ない.

お礼

最近大学の数学を勉強してから極限について高校数学が極限について曖昧な表現でごまかしているんだなとわかったと同時に、Tacosanがおっしゃった意味が分かりました

回答No.6

Water_5

タダ言えることは、私の数学レベルが
高校生レベルと言うことが分かった。

よしよし。

回答No.5

fusem23

証明がない最も大きな理由は、高校では実数の定義が示されてないことですね。

つまり、左辺が曖昧なのは、右辺の 0 が定義されてないからです。

実数の性質、たとえば連続性などを高校では証明なしに使ってますから、
その仮定の元では、高校の極限の定義で十分なのだと思います。

回答No.4

Tacosan

確認だけ:

「証明なしに使って良いことを認めているということでしょうか」というのは
「何を」使ってよいことを認めているかどうか問うている
のでしょうか?

ちなみに「定理」なら証明できないとおかしい.

補足

lim[x→∞]1/x=oのことです。

はさみうちの原理は高校の検定教科書では説明されていません。

回答No.3

funoe

＞つまり高校や大学入試問題は証明なしに使って良いことを認めているということでしょうか

とたんに、難しいことを聞きますねぇ。
少なくともはっきりしているのは、ｌｉｍ関係については、高校生には定義を与えていないので厳密な意味での証明はできないこと、したがって高校数学という狭い世界での特殊なルールに従った回答をせざるを得ないこと・・・、です。

一般論としては、どの範囲の定理を証明なしに用いてよいかは問題によって変わってきますよね。
つまり「高校教育の専門家さん」でないと答えられない気がします。私にはわかりません。

そういえば、「実数係数の３次方程式は、少なくとも一つ実解（実根）をもつ」なんてのも、証明なしに用いることが許される定理ですが、この定理の証明も高校生にはできませんよね。
もちろん「感覚的にはあきらか」なんですけどね。

回答No.2

funoe

＞証明なしで使っていたとすると、検定教科書には定理として載ってるはずですが

これは、教科書に対する「過剰な期待」というヤツでは？
ｍ＋ｎ＝ｎ＋ｍ　や(－ｍ)×(－ｎ)＝ｍｎ、平行線の同位角が等しいことや数学的帰納法も「証明なし」に使われていませんかね？
円の面積も小学校時代にはかなり感覚的に、高校になってからも積分の（巡り巡って微分の中で）ｓｉｎ（ｘ）/ｘ→１など、かなり怪しい橋を渡って解説してませんかね。

Ｎｏ１のTacosanさんがおっしゃっている通り、高校の教科書では「ｌｉｍの定義」を「直観的というか感覚的、情緒的」にしか記述していないので、
高校生には、ｌｉｍ（ｘ→１）ｘ＝１　ですら「証明」はできませんよね。

「えっ、だって、１に限りなく近づくじゃん！」といっても、
「どうして限りなく近づくと思うの？本当に近づくの？近づくってどういうこと？」と聞かれると答えに窮するんです。

そんな不毛なヤリトリが生じないように、ｌｉｍの定義をε－δで定め、形式的・定式的に「証明できる」ようにしているのです。

これによって、
「このわからず屋めっ。お前は一体、なにを示せばｌｉｍ（ｘ→１）ｘが、１であることを納得するんじゃ？！」
ってなことに対する全世界共通のルールを定めているのです。

補足

つまり高校や大学入試問題は証明なしに使って良いことを認めているということでしょうか

回答No.1

Tacosan

そもそも高校では lim の定義すらまともにやらないわけで, そんな状態で「証明」などできるわけがない.

ちなみに lim[x→∞]１/n＝０ は間違ってる.

補足

lim[n→∞]１/n＝０でした