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基底と次元
D1={[a1 a2 a3 a4] | a1+ a3 + 3*a4 =0,2*a1-a2+a3-3*a4=0}, D2={[a1 a2 a3 a4] | a1-a2+2*a3=0, 2*a2-a3+3*a4=0} とR^4の部分空間がある。 D1∩D2,D1+D2の基底と次元を求めよ 以上のような問題なのですが、D1,D2別々の基底と次元は求められるのですが、 D1,D2が関わりあった上記のような問題の場合、どのように解けばよいのでしょうか？ どなたかご教授お願いいたします。
- denbuntarou
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D1∩D2 については、D1,D2 それぞれを定義する 方程式の係数を行として並べた行列を作り、 行の交換を避けた基本変形で階段行列へ変形 すればよいです。その結果 rank に寄与する行を 最初の行列から抜き出したものが、 D1∩D2 を定義する方程式になります。あとは、 D1 や D2 のときと同様に基底を求めてください。 D1+D2 については、D1,D2 それぞれの基底を 列として並べた行列を作り、 列の交換を避けた基本変形で階段行列へ変形 すればよいです。その結果 rank に寄与する列を 最初の行列から抜き出したものが、 D1+D2 の基底になります。
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お礼
ありがとうございました。 理解できました。
補足
なぜ基本変形の際、行や列の交換を避けたほうがよいのですか？