基底と次元

質問

大学の数理科学の問題で、　
「次のベクトル、a1=(1, 0, 2) ,a2=(-1, 2, 1) ,a3=(3, -4, 0)

　が生成する部分空間をVとする。Vの基底と次元を求めよ。」

という問題がありまして、答えが「次元=2、基底＝(a1,a2)」
となってるんです。途中式は書いてあるんですが、どこから
この答えが導かれたのかが分からず困ってます・・・・

分かり方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

a1,a2,a3は一次従属ですね。
すなわち、a3=a1-2・a2と表されて、a3はa1,a2によって生成される
２次元の空間に含まれてしまいますね。
a3を何倍しても、s・a3=s・a1-2s・a3となって、s・a3は
a1,a2によって生成される空間に含まれてしまいます。

a1,a2,a3によって生成される空間は、
x・a1+y・a2+z・a3=(x+z)a1+(y-2z)a2
となって、x+z、y-2zはそれぞれ、任意の実数を取りうるので、
a1,a2,a3で生成される空間は、a1,a2によって生成される２次元の
空間になります。

一般に、
a1,a2,…,akによって生成される空間の次元は、
a1,a2,…,akのうちの一次独立なベクトルの個数の最大値です。
これは、a1,a2,…,akの成分からできる行列Aの階数です。
行列式|A|（または別の記号でdetA）が、0でないならば、a1,a2,…,ak
は一次独立で、a1,a2,…,akによって生成される空間の次元はkになりますが、
|A|=0ならば、a1,a2,…,akは一次従属で、次元は必ずk-1以下になります。（質問の例では|A|=0）実際の次元はrankA（Aの階数）です。

線形代数の練習問題をたくさんやって、感覚をつかまれることを
おすすめします。

回答No.2

velvet-rope

a1、a2、a3が線形独立か線形従属かを調べるのですが、その調べ方は
sa1 + ta2 + ua3 = 0
(上記でsa1はスカラーsにベクトルa1をかけたもの、0は0ベクトルです)
となるスカラーの組(s,t,u)が(0,0,0)以外に存在するかどうかを調べることになります。
そしてこれは、s、t、uについての連立方程式を解くことになりますが、未知数が3つ、式が3つになりますから、解(s,t,u)は一通りに決まるか、無数に存在するかのどちらかになります。
無数に存在する場合は、s、t、uのうちどれかを自由に与えることによって、他の値が一通りに決まります。
他の値を一通りに決めるための、自由に与えることのできる未知数の数を自由度といいます。そして、次元は未知数の数から自由度を引いた値になります。
この場合、a1、12、a3は線形従属で、s、t、uのうち、1つの値を決めれば他の2つが一通りに決まりますので、次元は3 - 1 = 2となります。
よって、3つのベクトルa1、a2、a3の生成する部分空間は、
　a1、a2(またはa1、a3やa2、a3)
で生成する部分空間と等しくなります。

上記のことは、行列の基本変形がわかれば理解できるはずですので、行列の基本変形の辺りから復習されるといいと思います。

回答No.1

koko_u

a1, a2, a3 が線型独立になっているかを順に考えていけば、a1, a2, a3 の生成する部分空間が結局 a1, a2 で生成する部分空間と等しいことがわかるはず。

基底は V に含まれる線型独立なベクトルであれば何でもよろしい。