円が移動した時の座標

質問

図なしで説明するのが難しいのですが、半径ｒの円、つまりX座標軸上の+X切片が（ｒ、０）、Y座標軸上の-Y切片（０、-ｒ）の円が右上に移動して、+X切片が（ｒ+ｘ１，０）、-Y切片（０、-ｒ+ｙ１）になった時に、円中心の座標は（０，０）からどこに移動するのでしょうか？。X軸、Y軸上の移動量から円中心の移動量を知りたいのですが、単純にベクトル（ｘ１、ｙ１）の移動とは円弧の分だけ違うと思うのですがどのように計算すればよいのかわかりません。
　またX軸、Y軸上の90度の位置関係での移動量ではなく、X軸上の移動量ｘ１とX軸から角度-α（時計回り方向にα度で90度未満）のα軸上の移動量α１、つまり+X切片が（ｒ+ｘ１，０）、+α切片が（０、-ｒ+α１）へ移動とわかっている場合の円中心の座標は（０，０）からどこに移動するのでしょうか？。
　三角関数使って簡単に算出できるのか？、それとも計算できないのか？。
よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

いずれのケースも半径が既知で2点を通る円ですから、円の中心は2カ所求められます。
（図形的に言えば、円の中心は、2点を結ぶ線分の垂直2等分線上で2点からの距離がrの点にあります。
　半径rでそれぞれ2点を中心にしてコンパスで円弧を描いたときの交点。）

　移動後の円の方程式を(x-p)^2+(y-q)^2=r^2　　・・・・☆　とします。
　この円は2点(0,-r+y1),(r+x1,0)を通るので☆に代入して、
　　-2(r+x1)p+(r+x1)^2+p^2+q^2=r^2, 2(r-y1)q+(r1-y)^2+p^2+q^2=r^2　　・・・・※
を得ます。2式の差をとると、
　　2(r+x1)p+2(r-y1)+(r-y1)^2-(r+x1)^2=0
となりますので、ここからq=・・・などとして※のどちらかの式に代入すればpについての2次方程式になるので、これを解くことで円の中心(p,q)を求めることができます。

　+α切片が分かっているときも考え方は同じです。
　+α切片-r+α1はxy座標で( (-r+α1)cosα1,-(-r+α1)sinα )ですので、これを☆に代入すれば以下同様に求めることができます。（式は複雑になるでしょうが。）

　以上よろしければ参考にしてください。

お礼

Mr_Hollandさん
回答ありがとうございます。言われてみれば当たり前ですが円の方程式つかうのですね。
大変たすかりました。
早速ｐの2次方程式算出してｐとｑを求めてみましたが、結構式が複雑になって、円を右上に動かしたのにｑがマイナスになってしまいました。どこかで計算間違いしているようです。改めてやってみます。
とにかくありがとうございました。