高一数学A 二項定理の展開式のx^3の係数を求めよ
- (x+1)^6の展開式の一般項は、6Cr・x^rとなる。この式では、rに0から6までの値を代入することで、xの冪乗の係数を求めることができる。
- (2+x)^6の展開式の一般項は、6Cs・2^6-s・x^sとなる。この式では、sに0から6までの値を代入することで、xの冪乗の係数を求めることができる。なお、2^6-sを2^sとして計算しても同じ結果になるわけではない。
- 6Crや6Csは、組み合わせの公式であり、二項係数を表す。シグマは使用せず、一般項の式に値を代入して計算することで、xの冪乗の係数を求めることができる。
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高一数学A 二項定理のやり方について
こんにちは。 (x+1)^6(2+x)^6の展開式のx^3の係数を求めよ。 という問題のとき方についてです。 指数を^で表すとします。 (x+1)^6の展開式の一般項は、解答には、 6Cr・x^r r=0,1,2,3,・・・,6 と書いてあります。 これは、6-rにrを代入してもrと答えが同じになるから、x^6-r を rに置き換えているんですよね? では、 (2+x)^6の展開式の一般項のときは、解答には、6Cs・2^6-2・x^s s=0,1,2,3,4,5,6 とありましたが、2^6-s は2^sとして計算しても同じにならないですか? ならないのはなぜでしょうか。 文中の6Csとかは、組み合わせの公式です。 ご回答よろしくお願いします。 シグマは習っていないのでそういうのを使わないで回答をお願いします。
- yoshi-tomo
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>(x+1)^6の展開式の一般項は、解答には、 6Cr・x^r r=0,1,2,3,・・・,6 この式、もう少し丁寧に書くと 6Cr・1^(6-r)・x^r となります。1は何乗しても1ですから省略しているに過ぎません。 この場合、x^rの係数とx^(6-r)の係数は6Cr*1^(6-r)=6Crと6C(6-r)*1^r=6C(6-r)となり、一致します。 >(2+x)^6の展開式の一般項のときは、解答には、6Cs・2^6-2・x^s 今度は2^(6-s)となりますのでさすがに省略できません。これはsの値に伴って変化する数です。 この場合、x^sの係数とx^(6-s)の係数はそれぞれ6Cs*2^(6-s)と6C(6-s)*2^sとなりますが、これは最初の部分の値は同じになりますが、2^(6-s)と2^sのところは明らかに異なる数字となるため、異なる値となります。
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写し間違えじゃないでしょうか? >(2+x)^6の展開式の一般項のときは、解答には、6Cs・2^6-2・x^s s=0,1,2,3,4,5,6 とありましたが (2+x)^6の展開式は、6Cs・2^(6-s)・x^sです。2の6乗ではなく、2の、6-S乗で、引き算は混じりません。 >2^6-s は2^sとして計算しても同じにならないですか? 質問者さまの式ではS=6-Sを代入すると、違う式になりますが、 上の式だと正しく計算できます。 ただし、対応が変わります。S=1のとき6-S=5という組み合わせと、6-S=5 のときS=1という組み合わせが 入れ替わるだけです。(S=0,1,2,3,4,5,6と代入すれば分かります。)
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