ラプラス方程式

質問

ラプラス方程式

ラプラス方程式は、ΔΦ=0で表されます。
Δ＝∇・∇＝（∂^2/∂＾2x，∂^2/∂＾2y,∂^2/∂＾2z）です。

ここで、ある関数Φについてのラプラス方程式は、

（1）（∂Φ^2/∂＾2x，∂Φ^2/∂＾2y,∂Φ^2/∂＾2z）=0
（2）∂^2/∂＾2x（Φ（x,y,z））+∂^2/∂＾2y（Φ（x,y,z））+∂^2/∂＾2z（Φ（x,y,z））=0

と2つの定義を見つけました。
（1）はΔΦ=0より分かるのですが、（2）はどのように導かれるのでしょうか？

また、関数Φはスカラー関数Φ（x,y,z）と言われたりするのですが、
x,y,zであればすでにベクトルではないのでしょうか？
良く分かりません・・・

ご回答何卒よろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

＞ そうすると、Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z
＞ となるのか分かりませんが。

式が微妙に違うことがひとつ。
話の順番が逆であることがひとつ。

まず、Δ＝∂^2/∂x＾2+∂^2/∂y＾2+∂^2/∂z＾2 です。
それは、関数 φ に対して
Δφ＝∂^2φ/∂x＾2+∂^2φ/∂y＾2+∂^2φ/∂z＾２
だという意味です。
Δ＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z ではありません。
よく見ると、違いますね？

Δ＝∇・∇ が何故足し算になるのか？という質問は
そもそも考えかたが全く逆で、Δ は
Δφ＝∂^2φ/∂x＾2+∂^2φ/∂y＾2+∂^2φ/∂z＾２
によって定義されているのです。
それを覚えやすくするために、印象的に比喩したのが
Δ＝∇・∇ です。 ∇ と ∇ の間の ・ が
ベクトルの内積を暗示していて、
(∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) どうしの内積だから
(∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 かな？というだけの話。
単なる比喩で、定義ではないので、
どうしてそうなるとかの理由は特にありません。

お礼

ご回答ありがとう御座います。
式間違ってました。申し訳有りません。
お陰様で理解出来ました。

回答No.3

dame_dame_

＃1です
ベクトルの内積
(a,b,c)・(d,e,f)=ad+be+cf
なので
∇=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）
同士の内積と考えるとラプラス演算子は
和の形になります。

というかそもそもラプラス演算子の定義が
和の形です。
（1）の形は違います

ΔΦ=0の式自体はラプラス方程式として正しいです

詳しくはベクトル解析の本を読んでみるとよいと思います

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。

回答No.2

alice_44

ラブラス方程式は、(2)です。(1)は違います。
教科書を見返して、
ラブラス作用素の定義を確認しましょう。
暗記用には、△=∇・∇ の式も、役に立ちます。
右辺のナカテンは、ベクトルの内容積を暗示
しているのです。

φ(x,y,z) のほうの話は、
引数 (x,y,z) がベクトル、関数値がスカラーです。
その φ は、ベクトルからスカラーへの写像なんです。

補足

ご回答ありがとうございます。
ナブラは、∇＝（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）という認識で正しいでしょうか？

そうすると、Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2zとなるのか分かりませんが。

なぜ、足し算になるのでしょうか？

また、ラプラス方程式ΔΦ=0は正しいですか？

回答No.1

dame_dame_

ラプラス演算子△はナブラの内積なので
Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z
です。
なのでラプラス方程式の定義は(2)であり(1)はおかしいです

またφは大きさのみの関数なので（多変数）スカラー関数です

例えば
f(x,y)=x+y
をスカラー関数と言うようなものです

g(x,y)=(a(x,y),b(x,y),...)
のようなものをベクトル関数と言います

補足

ご回答ありがとうございます。
スカラー関数に関しては理解できました。
ご回答ありがとうございます。

ナブラは、∇＝（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）という認識で正しいでしょうか？
ラプラス演算子△はナブラの内積なので
Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z
となる理由が分かりません。
どうして、和の形で表されるのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。