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ベクトルと平面図形の問題です
平面上に4点O,A,B,C がある。 OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル=0ベクトル OA=2, OB=1 OC=√2のとき、 三角形OABの面積を求めよです。 途中式を教えてください お願いします 答えは 4分の√7です
- eritammmmm
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図を描いて考えると解りやすいんですが、 OA+OB+OC=0なので、とりあえず、三辺が2、1、√2の三角形を描きます。長さはだいたいで構いません。 そして、長さが2の辺と1の辺が交わる角(点)をAとし、長さが2の辺と√2の辺が交わる角(点)をOとします。三角形の残りの角(点)を、とりあえずDとしておきます。 ADベクトルは、OBベクトルと等しいので、Oを起点として、ADベクトルと同じ向き、同じ大きさ(距離)のところがBです。 同様に、Oを起点として、DOベクトルと同じ向き、同じ大きさ(距離)のところがCです。 さて、△OABの面積ですが、よく見てみると、△OABと△OADは、OAを同一の底辺とし、高さも同じ三角形です。 よって、△OABと△OADの面積は同じです。 これは理解できますか? これが理解できないなら、□OADBに注目しましょう。 OAベクトルとBDベクトルが同じで、OBベクトルとADベクトルが同じなので、□OADBは平行四辺形になります。 △OABは□OADBの半分です。△OADも□OADBの半分です。 よって、△OABと△OADの面積は同じです。 ということは、△OABの面積を求めるということは、△OADの面積を求めるということになり、三辺が2、1、√2の三角形の面積を求めるということになります。 求め方はいろいろありますが、ヘロンの公式を使うと、 面積=√{(2+1+√2)(-2+1+√2)(2-1+√2)(2+1-√2)}/4 =√{(3+√2)(-1+√2)(1+√2)(3-√2)}/4 =√{(3+√2)(3-√2)(√2-1)(√2+1)}/4 =√{(9-2)(2-1)}/4 =√(7*1)/4 =√7/4 余弦定理を使うと、△ABDにおいて cosA={OA^2+AD^2-DO^2}/(2*OA*AD) ={2^2+1^2-(√2)^2}/(2*2*1) =(4+1-2)/4 =3/4 (sinA)^2+(cosA)^2=1より (sinA)^2=1-(3/4)^2=1-9/16=16/16-9/16=7/16 sinA=±√7/4 Aは三角形の角なので0°<A<180°より、sinA>0 sinA=√7/4 面積=OA*AD*sinA/2=2*1*√7/4/2=√7/4
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