集合 上限 下限

質問

集合　上限　下限

Wikipediaによれば、
上界の集合の最小元（つまり、最小の上界）のことを、上限といい、sup(A) と書く。
下界の集合の最大元（つまり、最大の下界）のことを、下限といい、inf(A) と書く。

http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/supmax031208.pdf
を参考にしたのですが理解出来できませんでした。

Ａを実数の部分集合とするとき、
実数 a が、Ａの上界であるとは、Ａの任意の元x に対して、x≦a が成り立つことである。
そのなかで、最小の上界を上限と言う。
ピンときません・・・

具体例を示して教えて頂けるとありがたいです。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.11

OurSQL · ベストアンサー

仰るとおりです。
以下、A は R の空でない部分集合とします。

A が下に有界であることは、A の下限 inf A が存在するための必要十分条件です。
同様に、A が上に有界であることは、A の上限 sup A が存在するための必要十分条件です。
これらの場合、inf A やsup A が A の元である必要はありません。

min は最小元、max は最大元を表します。
A が下に有界であることは、min A が存在するための必要条件ですが、十分条件ではありません。
同様に、A が上に有界であることは、max A が存在するための必要条件ですが、十分条件ではありません。
min A が存在すれば min A ∈ A であり、max A が存在すれば max A ∈ A です。

A が下に有界のとき、A の下界すべてからなる集合を L とおきます。
このとき、L は必ず最大元 max L を持ち、inf A = max L が成り立ちます。
さらに、A が最小元 min A を持てば、min A = inf A = max L が成り立ちます。
同様に、
A が上に有界のとき、A の上界すべてからなる集合を U とおきます。
このとき、U は必ず最小元 min U を持ち、sup A = min U が成り立ちます。
さらに、A が最大元 max A を持てば、max A = sup A = min U が成り立ちます。

No.4 に挙げた10個の例のうち、いくつかをもう一度見てみましょう。

01. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } のとき、
A は上下に有界で、L = (－∞, 1], U = [5, + ∞)
また、A は最小元 min A と最大元 max A の両方を持ちます。よって、
min A = inf A = max L = 1, max A = sup A = min U = 5

03. A = (0, 1] のとき、
A は上下に有界で、L = (－∞, 0], U = [1, + ∞)
また、A は最大元 max A は持ちますが、最小元は持ちません。よって、
min A は無し, inf A = max L = 0, max A = sup A = min U = 1

08. A = (－∞, 1) のとき、
A は上に有界ですが、下に有界でないので、A の下界は存在しません。よって、
L = 空集合、U = [1, + ∞)
A は下に有界でないので、最小元も下限も持ちません。また、A は上に有界ですが、最大元は持ちません。よって、
min A は無し、inf A は無し、max A は無し、sup A = min U = 1

09. A = [0, + ∞) のとき、
A は下に有界ですが、上に有界でないので、A の上界は存在しません。よって、
L = (－∞, 0], U = 空集合
A は最小元は持ちますが、上に有界でないので、最大元も上限も持ちません。よって、
min A = inf A = max L = 0, max A は無し、sup A は無し

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ご回答ありがとうございました。

理解できました。

回答No.4

OurSQL

まずは理屈抜きで具体例にたくさん触れて、その後で厳密さを追求（追究かな？）した方がいいと思いますよ。
こういうのは、とにかく慣れることが大切ですから。

01. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } のとき、min A = 1, inf A = 1, max A = 5, sup A = 5
02. A = [0, 1] のとき、min A = 0, inf A = 0, max A = 1, sup A = 1
03. A = (0, 1] のとき、min A は無し, inf A = 0, max A = 1, sup A = 1
04. A = [0, 1) のとき、min A = 0, inf A = 0, max A は無し, sup A = 1
05. A = (0, 1) のとき、min A は無し, inf A = 0, max A は無し, sup A = 1
06. A = (－∞, + ∞) のとき、min A, inf A, max A, sup A は全て無し
07. A = (－∞, 1] のとき、min A は無し、inf A は無し、max A = 1, sup A = 1
08. A = (－∞, 1) のとき、min A は無し、inf A は無し、max A は無し、sup A = 1
09. A = [0, + ∞) のとき、min A = 0, inf A = 0, max A は無し、sup A は無し
10. A = (0, + ∞) のとき、min A は無し、inf A = 0, max A は無し、sup A は無し

参考URL に挙げられている例ですが、
X = { 1－(1／n) | n ∈ N } のとき、min X = 0, inf X = 0, max X は無し、sup X = 1
max X が存在しないことは、"n がどんなに大きな値でも、1－(1／n) < 1 である" ことと深く関係しています。
sup X = 1 であることは、"lim { 1－(1／n) } = 1 [n --> ∞]　である" ことと深く関係しています。

補足

ご回答ありがとうございます。
例題は大変参考になりました。
開集合と閉集合を考えると分かりやすかったです。

参考の部分が理解出来ませんでした。
supXはlim { 1－(1／n) } = 1 [n --> ∞]と考えるのに、
なぜ、maxでは、lim { 1－(1／n) } = 1 [n --> ∞]を考えないのでしょうか？
もう少し詳しく教えてもらえませんでしょうか？

因みに、{}のカッコは集合的になにか意味があるのでしょうか？
()：開集合
[]:閉集合
{}：？

以上、申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

Caper

ごめんなさい。訂正です。ANo.2 の最初の ● 項目 においてです。

( 誤 ) … 1 < 2 と 1 = 2 のうちの少なくとも一方が真であれば …

( 正 ) … 1 < 2 と 1 = 2 のうちのどちらか一方が真であれば …

補足

ご回答ありがとうございます。
上限、下限がなんなのかいまいちピンときません。もうちょっと読ませて下さいm(_ _)m

回答No.2

Caper

● 例えば、1 ≦ 2 は真であるか偽であるかについて、確認させてください。

　 1 ≦ 2 は真です。1 < 2 と 1 = 2 のうちの少なくとも一方が真であれば 1 ≦ 2 は真になります。この場合 1 < 2 が真で 1 = 2 が偽です。

● 例えば、実数の部分集合 A として、開区間(0, 1) を選んだとします。

　 A = (0, 1) = {x| x は実数であり、0 < x < 1 である}

　 そこで、1 は A の上界であるかどうかについて考えてみます。A の任意の 元x に対して、x ≦ 1 が成り立ちます ( x ≦ 1 が真となります )。理由は、x = 1 は成り立たない ( x = 1 は偽である ) けれども、x < 1 は成り立つ ( x < 1 は真である ) からです。よって、1 は A の上界です。( もちろん、1 は A の上限でもあります )

● sup や inf という記号についての説明を初めて耳にしたとき、私もピンときませんでした。
　 以上の記述がまちがっていたり的はずれでありました場合は、ごめんなさい。

回答No.1

Tacosan

えぇと....

あなたが参考にした資料の中に「具体例」はあるんだけど....