連立不等式を満たす整数の個数 問題

質問

Xについて2つの2次不等式
x^2-(a+3)x+3a<0…(1)
2x^2+3x-2>0…(2)
を同時に満たす整数xがちょうど2つに存在するように、
定数aにの値の範囲を求めよ。

という問題が解けなくて困っています。
やり方からわからないので解説を交えて回答していただけたら嬉しいです。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)(2) を、それぞれ別に解いて、
　(1) ⇔ ( 3<x<a または a<x<3 )
　(2) ⇔ ( x<-2 または 1/2<x )
となるのは、解ったんでしょうね？

解らなければ、教科書で「二次不等式」を確認。
応用問題は、基本を理解してからです。

(1)(2) が解けたら、
　(1) ⇔ 3<x<a　となるか
　(1) ⇔ a<x<3　となるかに注目して、
3<a か a<3 かで場合分けします。

(A) 3<a の場合、
3<x<a かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は 3<x<a と整理できますから、　←(A*)
x = 4, 5 を解に持ち、x = 6 は解でないように、
5<a≦6 が a の範囲となります。

(B) a=3 の場合、
(1) を満たす x が無いので、
(1)(2) の解は 2 個にはなりません。

(C) a<3 の場合、
a<x<3 かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は a<x<-2 または max{a,1/2}<x<3
と整理できますから、　←(C*)
x = 1, 2 を解に持ち、x = -3 は解でないように、
-3≦a<1 が a の範囲となります。

(A)(B)(C) を併せて、
解は -3≦a<1 または 5<a≦6 です。

(A*)(C*) の内容がピンと来ないならば、
数直線を描いてみるとよいです。

お礼

ありがとうございます。
おかげさまでしっかり理解することができました。

回答No.4

mister_moonlight

場合わけなんか不要の方法、但し　座標を知ってればだが。。。。。ｗ

2つの不等式は、(x-a)*(x-3)＞0、(2x-1)*(x+2)＞0　である。
a＝y とすると、(x-a)*(y-x)＜0、(2x-1)*(x+2)＞0　であるから、これをxy平面上に図示する。
とすると、x＞3のとき　2x-1＞0、y-x＞0　の部分。1/2＜x＜3の時　1/2＜x＜3、y＜xの部分。
x＜-2の時、y＜x、x＜-2　の3つの部分。
xは整数だから、整数になるxの値を黒丸にしておくとわかりやすい。
そこで、a＝y(x軸に平行な直線)を上下に動かしてみる。
そうすると、“整数xがちょうど2つ”であるような、定数aの値は　自ずから明らか。
両端を含む、含まないの、面倒な問題も一挙に解決する。

座標を知らなければ、数直線を書いて aの値で場合わけをして整数値が２つである距離を考える事になる。
それは、＃1　がやってるような煩雑な方法になるから、余り薦めない。

回答No.3

hrsmmhr

#1さんが正しいです　すみません

回答No.2

hrsmmhr

2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)>0
{x>1/2 かつ x>-2} または　{x<1/2 かつ　x<-2}より
x>1/2 または x<-2

x^2-(a+3)x+3a=(x-3)(x-a)<0から
a<x<3 または 3<x<a

a<x<3のとき 1と2が入るようにすると整数が二つになるので1/2<a<1
3<x<aのとき 4と5が入るようにすると整数が二つになるので5<a