不等式の問題での最大の整数が６とは？

質問

子どもの問題集でわからないと子どもに質問されたのですが　
不等式５（ｘ－１）＜２（２ｘ+a)を満たすXのうちで最大の整数が６であるとき、定数aの値の範囲を求めるという問題で
解答は５X-５＜４X+２を移項し
X<2a+5
最大の整数が6である条件は６＜２a+5＝<７から1＜2a＝<2
よって1/2＜a＝＜1となっています。

　なぜ７という数値がでてくるのかまた７には＝が含まれるのかがわかりません。
　　　　　6<2a+5より　１/2＜aなら理解できるのですが。
　問題と解答が誤っているのではと思いますが。
　問題集が間違うことも考えられないので、私の整数に関する知識不足また不等式が理解できていないのかと思い質問させていただきました。

回答No.7

Quattro99

> ＝＜なら私の文系の頭では最大の整数が７と問題に示されるべきだと考えてしまいます。
混乱されているのは、Xについて考えているのか2a+5について考えているのかを混同してしまうためだと思います。
2a+5だとややこしいので#5と同じように「X<B」として説明します。
求めるのはXが取り得る範囲ではなくBが取り得る範囲です（混乱されているのはこの点だと思います）。
B=7の時「X<B」を満たすXは7になれません。B=7はOKなのです。
実際にBに7を入れて「X<7を満たすXのうちで最大の整数はなにか？」と考えれば、「6」という答えになることがわかると思います(7ではX<7を満たしません)。慣れるまでは実際に代入してみるのがよいと思います。

お礼

ありがとうございました。皆様のおかげでこどもは理解できたようです

回答No.6

noname#47975

x = 6のときは不等式の範囲に含まれるが、
x = 7のときは含まれないので、それを制限する必要があります。
私の場合、問題集の解説とは少し違う解き方になりますが、

(1)x = 6ならば、5(x-1) < 2(2x+a)が成立する。
(2)x = 7ならば、5(x-1) < 2(2x+a)が成立しない。
すなわち、
　x = 7ならば、5(x-1)≦ 2(2x+a)が成立する。

以上により、

(1)を満たすには、
x = 6を不等式に代入してaの範囲を求めれば、

5(x-1) < 2(2x+a)
65(6-1) < 2(2*6+a)
25 < 24 + 2a
1 > 2a
1/2 > a

次に、(2)を満たすには、
x = 7を不等式に代入してaの範囲を求めれば、

5(x-1)　≧ 2(2x+a)
5(7-1) ≧ 2(2*7+a)
30 ≧ 28 + 2a
2 ≧ 2a
1 ≧ a
となります。

以上により、1/2 < a ≦ 1 になります。

＞なぜ７という数値がでてくるのかまた７には＝が含まれるのかがわかりません。
　　　　　6<2a+5より　１/2＜aなら理解できるのですが。
　問題と解答が誤っているのではと思いますが。

最大の整数6が不等式に含まれるという事は、
言い換えれば、整数6は含まれるが、整数7は含まれない
という事です。
よって、
上記と同様に、
x = 6ならば、　x < 2a+5
x = 7ならば、 x ≧ 2a+5 (x < 2a+5を満たさないという事は
x ≦ 2a+5となる。xは2a+5未満ではない＝xは2a+5以上である）

これらにより、6 < 2a + 5 かつ　7 ≧ 2a + 5より、
1/2 < a ≦ 1ですね．．。これは問題集の解説で説明している
解き方ですね．．。

お礼

ありがとうございました。皆様のおかげでこどもは理解できたようです。

回答No.5

Quattro99

X<2a+5で考えるとわかりにくければ、
X<Bを満たすXのうちで最大の整数が6になるのはBがいくつの場合かを、Bに具体的な数字を入れて考えてみてください。
B=6つまり、X<6では6は含まれなくなってしまいますから、Bは6よりも大きい、つまり6<Bです。これを考えるとき具体的に「X<6」として考えるとすぐわかると思います。
次に、Bはどこまで大きくなれるかを考えると、「6.いくつ」なら最大の整数は6ですからOKです。7の場合はどうでしょうか。B=7なら、つまり、X<7なら最大の整数は6ですからOKです。しかし、7をちょっとでも超えると最大の整数は7になってしまってダメです。従ってX<7まで、つまりB≦7です。
合わせて6<B≦7ということになります。
この問題ではB=2a+5ですから、6<2a+5≦7となり、これを解いて答えとなります。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の＜７は７より小さいという意味での最大の整数６はわかりますがイコールがついて＝７の場合最大の整数は７という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、＝＜なら私の文系の頭では最大の整数が７と問題に示されるべきだと考えてしまいます。

回答No.4

KatoPPP

最大の整数が６である点がポイントです。
式が成立する最大の整数が６なのだから、７では、式が成立しないとの条件がかくれているのです。

つまり、Ｘ＝７の場合は、
５（Ｘ－１）＜　２（２Ｘ＋ａ）の式は成立しないで、
５（Ｘ－１）＞＝２（２Ｘ＋ａ）が成立します。

これを解くと、ａ＜＝１の条件が求められます。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の＜７は７より小さいという意味での最大の整数６はわかりますがイコールがついて＝７の場合最大の整数は７という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、＝＜なら私の文系の頭では最大の整数が７と問題に示されるべきだと考えてしまいます。

回答No.3

redowl

＞最大の整数が6である条件
を不等式で表すと　　　 x<7 　の整数
これと、　x<2a+5
の、連立不等方程式を考える。

x<8　では、最大の整数が　７になってしまう。
よって、少なくとも　2a+5＜８　であってはならない。
つまり、　2a+5=7 　か　2a+5＜7　で有る事
それを同時に満たす表記をすれば、　2a+5=＜7

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の＜７は７より小さいという意味での最大の整数６はわかりますがイコールがついて＝７の場合最大の整数は７という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、＝＜なら私の文系の頭では最大の整数が７と問題に示されるべきだと考えてしまいます。

回答No.2

einart

Ｘ＜２a+５
であってますね。
ここでXは少なくとも次を満たしています。
　-∞≦X＜7　・・・(1)
なぜかというと、そこから最大の整数と探してみてください。
　　X＝6
が最大ですね。

そして次に(1)の7の部分をBに仕立てます。
　　　X＜B　　・・・(2)
とします。このとき
　　　B=2a+5
ですね。(1)と(2)を見比べてみると
　　　B=７
が分かります。

これでもbluberryさんには少し疑問が残ると思います。
慎重に少しずつ置き換えたり、イメージを紙に起こして慣れていけばこの手の問題に対処出来るようになります。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の＜７は７より小さいという意味での最大の整数６はわかりますがイコールがついて＝７の場合最大の整数は７という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、＝＜なら私の文系の頭では最大の整数が７と問題に示されるべきだと考えてしまいます。

回答No.1

banakona

数学的ではありませんが、仮にａ＝１．００００１とすると、X<2a+5がＸ＜７．００００２となるので、これを満たす整数Ｘの最大値は７となってしまいます。したがって２a+5＝<７の条件も必要なのです。

また、ａ＝１ということは、X<2a+5がＸ＜７ということですよね。
つまり「Ｘは７より小さければいい」となります。この条件を満たす整数Ｘの最大値は６なので題意にあっています。
ですから＝は必要です。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
整数の＜７は７より小さいという意味での最大の整数６はわかりますがイコールがついて＝７の場合最大の整数は７という意味になると文系の私は考えてしまいます。正しいのかということを含め参考になりましたが数学ではイコールで良いのかというか、＝＜なら私の文系の頭では最大の整数が７と問題に示されるべきだと考えてしまいます。